11.1平面内点的坐标（5知识点+9题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

11.1 平面内点的坐标 课程标准 学习目标 ①理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标指出点的位置，由点的位置写出坐标。 ②在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。 ③对给定的正方形。会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. ④在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。 ①理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系，理解平面内的点与有序实数对的一一对应关系。 ②在给定的平面直角坐标系中,能够根点的坐标描出点的位置。 ③了解坐标平面内各象限内的点、坐标上的点的坐标特征，能由点的位置写出点的坐标，并能通过建立适当的平直角坐标系解决简单的实际问题 ④能根据点的坐标确定点到坐标轴的距离；能根据点到坐标轴的距离确定点的坐标。 ⑤会运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 知识点01 平面直角坐标系的概念 如图：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。①水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；②竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；③两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；④建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；⑤坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 注意：平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 【即学即练1】下所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的有 。 知识点02 各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 【即学即练2】在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即学即练3】下列各点中，在第一象限内的点是（     ） A． B． C． D． 【即学即练4】在平面直角坐标系中，点位于第四象限，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】如图是学校的平面示意图，现测得宿舍楼的位置是，艺术楼的位置是．    (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出教学楼、体育馆的位置； (3)行政楼和餐厅的位置分别是和，请在图中标出行政楼和餐厅的位置．    知识点03 坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 【即学即练6】点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【即学即练7】已知点P（a-1，a+2）在y轴上，那么点Q（-a，a-1）在（    ） A．x轴正半轴 B．x轴负半轴 C．y轴正半轴 D．y轴负半轴 知识点04 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 【即学即练8】如果经过点A，B的直线平行于y轴，则A，B两点坐标之间的关系是（    ） A．横坐标相等 B．纵坐标相等 C．横坐标互为相反数 D．纵坐标互为相反数 【即学即练9】若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？ 【即学即练10】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）已知线段平行于轴，且，那么 ． 知识点05 点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： ①点P(x,y)到x轴的距离等于 ②点P(x,y)到y轴的距离等于 ③点P(x,y)到原点的距离等于 拓展：到x轴与y轴的距离相等的点在各象限的角平分线上： ①点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 ②点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 【即学即练11】已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（    ） A． B． C． D． 【即学即练12】平面内点到y轴的距离是 ． 【即学即练13】（23-24七年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 点到y轴的距离，是点的横坐标的绝对值；点到x轴的距离，是点的纵坐标的绝对值：都不是坐标值。 案例：在平面直角坐标系中，若点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等，求M的坐标。 分析：点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等， ∴|m-6|=|2m+3|， 当6-m=2m+3时， 解得m=1，m-6=-5，2m+3=5， ∴点M坐标为（-5，5）； 当6-m=-2m-3时，解得m=-9，m-6=-15， ∴点M坐标为（-15，-15）． 综上所述，M的坐标为（-5，5）或（-15，-15）； 易错总结： 1. 明确距离与坐标之间的区别：距离是坐标的绝对值； 2. 明确坐标：“ 点 P 到 x 轴 的距离”对应的是纵坐标的 绝 对 值，“ 点 P 到 y轴的距离”对应的是横坐标的绝对值； 3. 忽略坐标的符号。 【题型一：用有序数对表示位置或用有序数对表示路线】 例1.如图，这是某书法家关于诗歌《登幽州台歌》的书法展示，若 “来”的位置用有序数对表示，则“涕”的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式1-1.（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，在围棋棋盘局部上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（     ）    A． B． C． D． 变式1-2.（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，一片树叶放置在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 变式1-3.（23-24七年级下·湖北随州·期末）某体育馆的平面示意图如图所示，已知游泳馆的坐标是，足球场的坐标是． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)根据你建立的平面直角坐标系，写出排球场的坐标； (3)若篮球场的坐标为，请在图中标出篮球场的位置． 例2．如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 【技巧方法与总结】用有序数对表示物体位置，关键是正确理解题意，明确题中表示位置的方式． 【题型二：根据坐标系中点的位置确定参数的值或范围】 例3．在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 变式3-1．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）点在第二象限，则a的取值范围为 ． 变式3-2．若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 例4．若点在轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 变式4-1．已知点，，且直线轴，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式4-2．已知点，点，轴，，则 ． 变式4-3．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，直线轴，点和点都是直线l上的点，求点Q的坐标． 【方法技巧与总结】 此类问题，需要对坐标系中不同位置的的点的坐标的特征掌握的非常熟练，再根据不同的特征，转化为坐标的运算（方程或不等式）的代数问题来解答。 【题型三：在坐标系中根据两点之间的距离表示长方形（正方形）的顶点坐标】 例5.用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点B的坐标是 ． 【方法技巧与总结】坐标与图形中，求图形的顶点坐标关键是①找准等量关系，将问题转化为二元一次方程组进行；②根据坐标求两点之间的距离 【题型四：在坐标系中根据两点之间的距离表示图形面积】 例6．在如图，所示的平面直角坐标系中,作出下列坐标的A(-3，2)，B(0，-4)，C(5，-3)， D(0，1).并求出四边形ABCD的面积.     变式6-1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)点C 落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，则m= ，n = ； (2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出，并求出的面积； 【方法技巧与总结】①三角形的面积：先补形为长方形（直角梯形），再用长方形（直角梯形）的面积减去多余的三角形的面积；②四边形的面积：先分割为规则的三角形，再分别求出三角形的面积作和（也可以用补形法）；③求两顶点之间的距离表示图形的边长；④若已知三角形面积和一边的长，用等面积法表示三角形该边上的高。 【题型五：在坐标系中根据图形的面积求未知坐标】 例7．如图，已知在平面直角坐标系中有三个点，，．请解答以下问题：    (1)在坐标系内描出点，，，画出以，，，三点为顶点的三角形； (2)若三角形的面积记为，在轴上存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为，满足，请求出的取值范围． 变式7-1．在平面直角坐标系中，点，，，．若与轴交于点，与轴交于点，在线段上找出点，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点的坐标．    【方法技巧与总结】①表达出图形的面积；②建立关于坐标参数的方程或不等式进行解题 【题型六：坐标与图形中根据动点运动位置求运动时间】 例8．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积为8，点，点，点从点出发，沿“”方向以2个单位长度/秒运动，设运动时间为秒 (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)当点在线段上运动时，若三角形的面积为3，求的值； (3)当点运动多少秒时，． 变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，． (1)直接写出点，，的坐标； (2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【方法技巧与总结】动点问题中涉及到在点的坐标的确定，需要进行对点的位置进行分类讨论： ①根据线段的长和时间t表示出点的坐标，根据线段的特点确定出所有点的大致位置； ②根据面积的值，列方程求t，最后求出相关点的坐标． 【题型七：坐标系中点的运动规律探索问题】 例9．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 例10．（23-24八年级上·安徽池州·期末）在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式10-1.如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第次运动到点 ．    变式10-2．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ． 例11．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 变式11-1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【方法技巧与总结】坐标规律的探究题型无固定的方法，一般情况下，先由题意写出前几个点的坐标，观察并归纳相邻两个坐标之间的坐标关系，最后用含n代数式表示规律。解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从特殊到一般的探究方法． 【题型八：与点的坐标相关的新定义问题】 例12．定义：把形如（a、b为实数）的数叫做复数，用表示．任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如表示为，则可表示为（    ） A． B． C． D． 变式12-1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 变式12-2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）阅读材料，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点A，点的坐标为，则称B为点A的“k级点”．如点A的“2级点”的坐标，即B． (1)已知点P的“5级点”为，则点的坐标为______． (2)已知点Q的“4级点”为，求点Q的坐标． (3)若点C的“2级点”位于第二象限，请直接写出c的取值范围． 【方法技巧与总结】理解新定义下点的坐标的特点，并会代数解题。 【题型九：中点坐标问题】 例12．综合与实践：探究两点之间的中点坐标公式 问题背景： （1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 一、选择题 1.（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（    ） A． B． C． D． 2.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3.（23-24八年级上·安徽宿州·期中）小李、小王、小张、小谢原有位置如图，若用表示小李的位置，表示小王的位置，表示小张的位置，表示小谢的位置．撤走最上面一行，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　）    A．小李现在位置为 B．小张现在位置为 C．小王现在位置为 D．小谢现在位置为 4.（23-24八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中，点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.（23-24七年级下·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.第二象限的点A到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 7.平面直角坐标系中，对于坐标，下列说法错误的是（     ） A．当时，点P在y轴上 B．点 P 的纵坐标是2 C．点P到y轴的距离是1，则 D．它与点表示同一个坐标 8.（22-23八年级上·安徽安庆·期末）若点在第二象限，则点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9.（22-23八年级上·安徽淮北·期末）若，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10.（22-23八年级上·安徽六安·期末）点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11.以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 12.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点在第二象限，则a的值可以等于 ．（写出一个符合要求的a值） 13.（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）平面直角坐标系中，点在第二象限，则点在第 象限． 14.（23-24八年级上·安徽滁州·期末）平面直角坐标系中，在第 象限． 15.（22-23八年级上·安徽安庆·期末）已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在第四象限，则点P的坐标是 ． 三、解答题 16.（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B均在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，．    (1)请在图中建立平面直角坐标系； (2)若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上的一点，则_____，点E的坐标为_____． 17．（23-24七年级下·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系． (2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______． (3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度． 18．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． (1)点M在x轴上， (2)点N的坐标为，且直线轴． 19.（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点P在y轴上，试求出a的值 (2)若，且轴，试求P的坐标 在平面直角坐标系中． (1)若点M（m-6，2m+3），点N（5，2），且MNy轴，求M的坐标； (2)若点M（a，b），点N（5，2），且MNx轴，MN=3，求M的坐标． 1.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直角坐标系中，点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如下图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知，那么点在第 象限． 4.对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)求点的一对“相伴点”的坐标； (2)若点的一对“相伴点”重合，求的值； (3)若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 1.（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”，已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次下去得到，，…，．若点的坐标为，则点在第一、第三象限角平分线上的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.（23-24七年级上·安徽六安·期末）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，（为大于的整数），如这组数为，则，，…当这组数为时，（    ） A． B． C． D． 3.若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 4.（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P第1次从点运动到点， 第2次运动到点． 第3 次运动到点， ……按这样的规律， 第 次运动到点的坐标是 ． 5.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即． (1)求点的勾股值； (2)若点B在第二象限，且满足，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形面积． 6.（22-23七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中有四点 ．    (1)在图中描出四点，再连接； (2)直接写出线段与线段的位置关系； (3)若与轴交于点，与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得三角形与三角形的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，设，n＝1，2，3，…．    (1)依次写出，，，，，的值； (2)计算的值为 ； (3)计算的值． 8.（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a，b，c满足． (1)求A，B，C三点的坐标． (2)若将线段平移，对应的线段是由C，D为端点的线段，求点D的坐标． (3)若第一象限存在点，使得的面积为，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 平面内点的坐标 课程标准 学习目标 ①理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标指出点的位置，由点的位置写出坐标。 ②在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。 ③对给定的正方形。会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. ④在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。 ①理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系，理解平面内的点与有序实数对的一一对应关系。 ②在给定的平面直角坐标系中,能够根点的坐标描出点的位置。 ③了解坐标平面内各象限内的点、坐标上的点的坐标特征，能由点的位置写出点的坐标，并能通过建立适当的平直角坐标系解决简单的实际问题 ④能根据点的坐标确定点到坐标轴的距离；能根据点到坐标轴的距离确定点的坐标。 ⑤会运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 知识点01 平面直角坐标系的概念 如图：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。①水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；②竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；③两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；④建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；⑤坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 注意：平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 【即学即练1】下所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的有 。 【答案】B、D 知识点02 各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 【即学即练2】在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵， ∴点位于第二象限 故选：B 【即学即练3】下列各点中，在第一象限内的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. 是第一象限内的点，符合题意；     B. 是第二象限内的点，不符合题意；     C. 是第四象限内的点，不符合题意；     D. 是第三象限内的点，不符合题意； 故选：A． 【即学即练4】在平面直角坐标系中，点位于第四象限，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在平面直角坐标系中的第四象限内， ∴，， ∴， 故选项A不符合题意，选项B符合题意； 若，，则， 若，，则， 故选项C和选项D都不符合题意． 故选：B． 【即学即练5】如图是学校的平面示意图，现测得宿舍楼的位置是，艺术楼的位置是．    (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出教学楼、体育馆的位置； (3)行政楼和餐厅的位置分别是和，请在图中标出行政楼和餐厅的位置． 【答案】(1)见解析 (2)教学楼，体育馆； (3)见解析 【详解】（1）如图，    （2）由图可知，教学楼，体育馆； （3）如图，    知识点03 坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 【即学即练6】点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由点P在直角坐标系的轴上，可得： ，解得：， ， 点； 故选A． 【即学即练7】已知点P（a-1，a+2）在y轴上，那么点Q（-a，a-1）在（    ） A．x轴正半轴 B．x轴负半轴 C．y轴正半轴 D．y轴负半轴 【答案】D 【详解】解：∵点P（a-1，a+2）在y轴上， ∴a-1=0， 解得a=1， ∴-a=-1，a-1=0， ∴点Q的坐标为（-1，0）， ∴Q（-a，a-1）在x轴负半轴． 故选：B． 知识点04 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 【即学即练8】如果经过点A，B的直线平行于y轴，则A，B两点坐标之间的关系是（    ） A．横坐标相等 B．纵坐标相等 C．横坐标互为相反数 D．纵坐标互为相反数 【答案】A 【详解】解：∵经过点A，B的直线平行于y轴， ∴A，B两点坐标的横坐标相等； 故选A． 【即学即练9】若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？ 【答案】直线与轴平行； 根据C，D两点的坐标分别为，，C，D两点的横坐标不同，纵坐标相同；可知直线与轴平行． 【即学即练10】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）已知线段平行于轴，且，那么 ． 【答案】3 根据平行于轴的线段上的点坐标的横坐标相同进行求解作答即可． 【详解】解：∵平行于轴， ∴， 故答案为：3． 知识点05 点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： ①点P(x,y)到x轴的距离等于 ②点P(x,y)到y轴的距离等于 ③点P(x,y)到原点的距离等于 拓展：到x轴与y轴的距离相等的点在各象限的角平分线上： ①点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 ②点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 【即学即练11】已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的横坐标是2，纵坐标是， 点的坐标是． 故选：D 【即学即练12】平面内点到y轴的距离是 ． 【答案】 【详解】解：平面内点到y轴的距离是 故答案为：． 【即学即练13】（23-24七年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵点P到x轴的距离是3， ∴点P的纵坐标为， ∵点P到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为， ∵点P在第四象限， ∴点P坐标为， ∵平行于轴且， ∴点Q的坐标是或． 故选：C 点到y轴的距离，是点的横坐标的绝对值；点到x轴的距离，是点的纵坐标的绝对值：都不是坐标值。 案例：在平面直角坐标系中，若点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等，求M的坐标。 分析：点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等， ∴|m-6|=|2m+3|， 当6-m=2m+3时， 解得m=1，m-6=-5，2m+3=5， ∴点M坐标为（-5，5）； 当6-m=-2m-3时，解得m=-9，m-6=-15， ∴点M坐标为（-15，-15）． 综上所述，M的坐标为（-5，5）或（-15，-15）； 易错总结： 1. 明确距离与坐标之间的区别：距离是坐标的绝对值； 2. 明确坐标：“ 点 P 到 x 轴 的距离”对应的是纵坐标的 绝 对 值，“ 点 P 到 y轴的距离”对应的是横坐标的绝对值； 3. 忽略坐标的符号。 【题型一：用有序数对表示位置或用有序数对表示路线】 例1.如图，这是某书法家关于诗歌《登幽州台歌》的书法展示，若 “来”的位置用有序数对表示，则“涕”的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“涕”的位置可以表示为， 故选：B． 变式1-1.（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，在围棋棋盘局部上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋③的坐标为，故A正确．    故选：A． 变式1-2.（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，一片树叶放置在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 点的坐标为， 故答案为：． 变式1-3.（23-24七年级下·湖北随州·期末）某体育馆的平面示意图如图所示，已知游泳馆的坐标是，足球场的坐标是． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)根据你建立的平面直角坐标系，写出排球场的坐标； (3)若篮球场的坐标为，请在图中标出篮球场的位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示， （2）排球场的坐标为； （3）解：如图所示， 例2．如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A选项：由图象可知不能到达点A，正确． B选项：由图象可知能到达点A，与题意不符． C选项：由图象可知到达点A，与题意不符． D选项：由图象可知(到达点A正确，与题意不符． 故选：A． 【技巧方法与总结】用有序数对表示物体位置，关键是正确理解题意，明确题中表示位置的方式． 【题型二：根据坐标系中点的位置确定参数的值或范围】 例3．在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点在第二象限， ， 解得． 故选：B． 变式3-1．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）点在第二象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式3-2．若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【详解】解：根据题意得：，即， 点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等， 且， ，则， ， ， 故选：C． 例4．若点在轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为点在轴上， 所以，解得， 当时，点的坐标为， 故选：B． 变式4-1．已知点，，且直线轴，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：点，，且直线轴， ，解得，则， ， 故选：A． 变式4-2．已知点，点，轴，，则 ． 【答案】5或/或5 【详解】解：∵点，点，轴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 故答案为：5或． 变式4-3．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，直线轴，点和点都是直线l上的点，求点Q的坐标． 【答案】 【详解】直线轴，点和点都是直线l上的点， ， 解得：， 将代入求得：． 【方法技巧与总结】 此类问题，需要对坐标系中不同位置的的点的坐标的特征掌握的非常熟练，再根据不同的特征，转化为坐标的运算（方程或不等式）的代数问题来解答。 【题型三：在坐标系中根据两点之间的距离表示长方形（正方形）的顶点坐标】 例5.用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【方法技巧与总结】坐标与图形中，求图形的顶点坐标关键是①找准等量关系，将问题转化为二元一次方程组进行；②根据坐标求两点之间的距离 【题型四：在坐标系中根据两点之间的距离表示图形面积】 例6．在如图，所示的平面直角坐标系中,作出下列坐标的A(-3，2)，B(0，-4)，C(5，-3)， D(0，1).并求出四边形ABCD的面积.     【答案】图详见解析,20. 【详解】解：如图所示: S四边形ABCD= 变式6-1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)点C 落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，则m= ，n = ； (2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出，并求出的面积； 【答案】(1)0，3 (2)作图见解析，7 (3)见解析 【详解】（1）∵点C 落在y轴正半轴，且到原点的距离为3， ∴，， 故答案为：0，3； （2）如图，就是求作的图形， 【方法技巧与总结】①三角形的面积：先补形为长方形（直角梯形），再用长方形（直角梯形）的面积减去多余的三角形的面积；②四边形的面积：先分割为规则的三角形，再分别求出三角形的面积作和（也可以用补形法）；③求两顶点之间的距离表示图形的边长；④若已知三角形面积和一边的长，用等面积法表示三角形该边上的高。 【题型五：在坐标系中根据图形的面积求未知坐标】 例7．如图，已知在平面直角坐标系中有三个点，，．请解答以下问题：    (1)在坐标系内描出点，，，画出以，，，三点为顶点的三角形； (2)若三角形的面积记为，在轴上存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为，满足，请求出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【详解】（1）解：如图，    （2）解：； 当点在点的上方的轴上时，由可得，解得； 当点在点的下方的轴上时，由可得，解得 综上所述的取值范围为或． 变式7-1．在平面直角坐标系中，点，，，．若与轴交于点，与轴交于点，在线段上找出点，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点的坐标．    【答案】 求出，设，求出，，分别表示出和，根据三角形面积相等，列出方程，解之即可． 【详解】轴于，轴于，，， ， 设， 则，， ∵，， ， ， 当三角形与三角形面积相等时， 即， 解得， 点坐标为． 【方法技巧与总结】①表达出图形的面积；②建立关于坐标参数的方程或不等式进行解题 【题型六：坐标与图形中根据动点运动位置求运动时间】 例8．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积为8，点，点，点从点出发，沿“”方向以2个单位长度/秒运动，设运动时间为秒 (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)当点在线段上运动时，若三角形的面积为3，求的值； (3)当点运动多少秒时，． 【答案】(1)， (2)即的值为 (3)点运动秒或秒时 【详解】（1）解∶∵点，点， ∴， ∵长方形的面积为8， ∴， ∴，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ 由（1）得，根据题意，得， ∴三角形的面积为 解得，即的值为； （3）解：①点在线段上时，不构成四边形，不符合题意； ②点在线段上时，此时即 ∴ ∴ 解得：，符合题意； ③点在线段上时，此时即 ∴ ∴，解得符合题意； 综上所述，当点运动秒或秒时， 变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，． (1)直接写出点，，的坐标； (2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)4 (3)， 【详解】（1）解：∵点A、C在x轴上，． ∴， ∵C在y轴上，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， 设运动时间t秒， ∴，        ∴， ∴； （3）解：设， ∵， ∴   ∴，，       ∴，． 【方法技巧与总结】动点问题中涉及到在点的坐标的确定，需要进行对点的位置进行分类讨论： ①根据线段的长和时间t表示出点的坐标，根据线段的特点确定出所有点的大致位置； ②根据面积的值，列方程求t，最后求出相关点的坐标． 【题型七：坐标系中点的运动规律探索问题】 例9．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， 凸形的周长为， 的余数为4， 细线另一端所在位置的点的坐标是 故选：C． 例10．（23-24八年级上·安徽池州·期末）在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴观察发现，每三个点为一组，每组最后一个点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标为第五组最后一个点的坐标， ∴第个点的坐标为， 故选：． 变式10-1.如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第次运动到点 ．    【答案】 【详解】第一次运动后的坐标为：， 第二次运动后的坐标为：， 第三次运动后的坐标为：， 第四次运动后的坐标为：， 第五次运动后的坐标为：， …… ∴可以得出规律：点P的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0； P点的横坐标是运动次数即，纵坐标与第三次运动到达的点的纵坐标相同即2， ,第次运动后的坐标为：， 故答案为：． 变式10-2．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； 则当时间为秒时，， ∴点， 故答案为：． 例11．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 变式11-1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0； (2) (3)向右． 【详解】（1）解：由图可知，点，点，点都在轴的正半轴上， 小蚂蚁每次移动1个单位， ，，， ，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0． （2）解：由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期， ，点在轴的正半轴上， ． （3）解：当时， ， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 蚂蚁从点到点的移动方向为向右． 【方法技巧与总结】坐标规律的探究题型无固定的方法，一般情况下，先由题意写出前几个点的坐标，观察并归纳相邻两个坐标之间的坐标关系，最后用含n代数式表示规律。解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从特殊到一般的探究方法． 【题型八：与点的坐标相关的新定义问题】 例12．定义：把形如（a、b为实数）的数叫做复数，用表示．任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如表示为，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，可表示为， 故选：C． 变式12-1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 【答案】二 【详解】解：由“关联点”的定义可知：点的“关联点”的坐标为， ∴点的“关联点”在第二象限． 故答案为：二． 变式12-2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）阅读材料，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点A，点的坐标为，则称B为点A的“k级点”．如点A的“2级点”的坐标，即B． (1)已知点P的“5级点”为，则点的坐标为______． (2)已知点Q的“4级点”为，求点Q的坐标． (3)若点C的“2级点”位于第二象限，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵点的“5级点”为， ∴ ，即 ； （2）设 ， ∵点Q的“4 级湘一点”为， ∴， 解得： ， ∴Q点的坐标为； （3）∵是点的“2 级点”， ∴ ，即 ， ∵在第二象限， ∴ ， 解得：； 【方法技巧与总结】理解新定义下点的坐标的特点，并会代数解题。 【题型九：中点坐标问题】 例12．综合与实践：探究两点之间的中点坐标公式 问题背景： （1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【答案】（1）描点见解析，的坐标为，的坐标为，（2），（3）或或 【详解】（1）解：如图所示，A、B、C、D为所求，点的坐标为，点的坐标为， （2）解：由题意得若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为； （3）解：∵，，， ∴线段EF的中点坐标为（1，），线段EG的中点坐标为（0，3），线段的中点坐标为（2，）， 当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，则， ∴， ∴点H的坐标为； 同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为；当线段的中点与线段的中点坐标重合时，点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或或 一、选择题 1.（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵只有与是相邻的， ∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是，故C正确． 故选：C． 2.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，， ∴可得平面直角坐标系如图所示：    ∴棋子“炮”的点的坐标为：． 故选：D． 3.（23-24八年级上·安徽宿州·期中）小李、小王、小张、小谢原有位置如图，若用表示小李的位置，表示小王的位置，表示小张的位置，表示小谢的位置．撤走最上面一行，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　）    A．小李现在位置为 B．小张现在位置为 C．小王现在位置为 D．小谢现在位置为 【答案】B 【详解】解：根据题意画出图形可得：    A、小李现在位置为第1排第4列，表示为，故错误，不符合题意； B、小张现在位置为第3排第2列，表示为，故正确，符合题意； C、小王现在位置为第2排第3列，表示为，故错误，不符合题意； D、小谢现在位置为第4排第4列，表示为，故错误，不符合题意； 故选：B． 4.（23-24八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中，点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵， ∴点在第一象限； 故选A． 5.（23-24七年级下·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：由题意知，位于第四象限， 故选：D． 6.第二象限的点A到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点A在第二象限内，点A到轴的距离是，到轴的距离是， 点A的坐标是， 故选：A． 7.平面直角坐标系中，对于坐标，下列说法错误的是（     ） A．当时，点P在y轴上 B．点 P 的纵坐标是2 C．点P到y轴的距离是1，则 D．它与点表示同一个坐标 【答案】D 【详解】解：A．当时，点在y轴上，故选项正确，不符合题意； B．点 的纵坐标是2，故选项正确，不符合题意； C．点到y轴的距离是1，则，故选项正确，不符合题意； D．它与点不表示同一个坐标，故选项错误，符合题意． 故选：D． 8.（22-23八年级上·安徽安庆·期末）若点在第二象限，则点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴点在第四象限， 故选：D． 9.（22-23八年级上·安徽淮北·期末）若，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由若， ∴，， 得点在第三象限， 故选C． 10.（22-23八年级上·安徽六安·期末）点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵点在第二象限内， ∴，解得：， ∵纵、横坐标均为整数， ∴， 故选C． 11.以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解： 由，得：， 解得：． 将代入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∴点在平面直角坐标系中的位置是第三象限． 故选C 二、填空题 12.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点在第二象限，则a的值可以等于 ．（写出一个符合要求的a值） 【答案】 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，即， ∴a的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13.（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）平面直角坐标系中，点在第二象限，则点在第 象限． 【答案】一 【详解】解：点在第二象限， ∴，， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 14.（23-24八年级上·安徽滁州·期末）平面直角坐标系中，在第 象限． 【答案】四 【详解】解：，， 在第四象限， 故答案为：四． 15.（22-23八年级上·安徽安庆·期末）已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在第四象限，则点P的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：设， ∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在第四象限， ∴，，，， 解得，，， ∴ 故答案为：． 三、解答题 16.（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B均在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，．    (1)请在图中建立平面直角坐标系； (2)若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上的一点，则_____，点E的坐标为_____． 【答案】(1)见解析； (2)C，D两点见解析；C，D两点的横坐标不同，纵坐标相同；直线与轴平行； (3)3，． 【详解】（1）点A，B的坐标分别为，， 点A向右2个单位，再向下1个单位得到原点；点B向左3个单位，再向下1个单位得到原点，根据原点位置画出平面直角坐标系． 平面直角坐标系如图所示：      （2）根据C，D两点的坐标分别为，，画出C，D两点，如图所示：    C，D两点的横坐标不同，纵坐标相同；由图可知直线与轴平行． （3）点为直线上的一点，C，D两点的坐标分别为，， ， ， ，点E的坐标为， 故答案为3，． 17．（23-24七年级下·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系． (2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______． (3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度． 【答案】(1)详见解析 (2)， (3)5，左，1 【详解】（1）解：因为“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和， 所以平面直角坐标系如图所示． （2）解：由（1）中所建平面直角坐标系可知， “百虎山”的坐标为，“熊猫乐园”的坐标为．   故答案为：，． （3）解：根据“熊猫乐园”的坐标为， “百虎山”的坐标为，可以得出从“熊猫乐园”前往“百虎山”可以先向上走5个单位长度，再向左走1个单位长度， 故答案为：5 ； 左 ； 1． 18．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． (1)点M在x轴上， (2)点N的坐标为，且直线轴． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：点M在x轴上， ， ， 则， ； （2）轴， ， ， 则， ． 19.（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点P在y轴上，试求出a的值 (2)若，且轴，试求P的坐标 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点在y轴上， （2）∵，且轴， ． 在平面直角坐标系中． (1)若点M（m-6，2m+3），点N（5，2），且MNy轴，求M的坐标； (2)若点M（a，b），点N（5，2），且MNx轴，MN=3，求M的坐标． 【答案】(1) M的坐标（5，25）； (2)点M坐标为（2，2）或（8，2）． 【详解】（1）解：点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等， ∴|m-6|=|2m+3|， 当6-m=2m+3时， 解得m=1，m-6=-5，2m+3=5， ∴点M坐标为（-5，5）； 当6-m=-2m-3时，解得m=-9，m-6=-15， ∴点M坐标为（-15，-15）． 综上所述，M的坐标为（-5，5）或（-15，-15）； （2）解：∵MNy轴， ∴m-6=5， 解得m=11，11-6=5，2×11+3=25， ∴M的坐标（5，25）； （3）解：∵MNx轴， ∴b=2， 当点M在点N左侧时，a=5-3=2， 当点M在点N右侧时，a=5+3=8， ∴点M坐标为（2，2）或（8，2）． 1.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直角坐标系中，点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：由可知，， ∴， ∴点在第四象限， 故选：D． 2.（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如下图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点，……， 以此类推，可知第次运动后，动点的横坐标为，则经过第次运动后，动点的横坐标为；动点的纵坐标按，，，的规律循环出现，每个点为一个循环， ∵， ∴经过第次运动后，动点的纵坐标为． ∴经过第次运动后，动点的坐标为． 故选：A． 3.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知，那么点在第 象限． 【答案】二 【详解】∵， ∴，即点中，则点P在第二象限． 故答案为：二． 4.对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． (1)求点的一对“相伴点”的坐标； (2)若点的一对“相伴点”重合，求的值； (3)若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 【答案】(1)与 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是与； （2）∵点， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是和， ∵点的一对“相伴点”重合， ∴， ∴， ∴的值为； （3）设点， ∵点的一个“相伴点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．      (1)填写下列各点的坐标：（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0； (2) (3)向右． 【详解】（1）解：由图可知，点，点，点都在轴的正半轴上， 小蚂蚁每次移动1个单位， ，，， ，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0． （2）解：由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期， ，点在轴的正半轴上， ． （3）解：当时， ， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 蚂蚁从点到点的移动方向为向右． 1.（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”，已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次下去得到，，…，．若点的坐标为，则点在第一、第三象限角平分线上的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：对于点，我们把叫做点P的“伴随点”， 已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…， 当时，，，， ∴点在第一、第三象限角平分线上，4个点为一个循环， ，，， 在点中，点在第一、第三象限角平分线上． 故选C． 2.（23-24七年级上·安徽六安·期末）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，（为大于的整数），如这组数为，则，，…当这组数为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当这组数为时， ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 3.若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】B 【详解】解：∵到x轴的距离为4， ∴或， 当时， ， 解得， ∴该点的坐标为； 当时， ， 解得， ∴该点的坐标为． 故选：B． 4.（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P第1次从点运动到点， 第2次运动到点． 第3 次运动到点， ……按这样的规律， 第 次运动到点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ，，，，，．．．． ∴横坐标为对应的运动次数减， 则第 次运动到点的横坐标为：； 纵坐标依次为：，每次一个循环， ∵， ∴第 次运动到点的纵坐标为：； 故答案为： 5.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即． (1)求点的勾股值； (2)若点B在第二象限，且满足，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意， （2）解：依题意，点B在第二象限， 则设B点的坐标为， 由，得到方程，， 即：． 故所有点B与坐标轴围成的图形如图所示的三角形， 故其面积为． 6.（22-23七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中有四点 ．    (1)在图中描出四点，再连接； (2)直接写出线段与线段的位置关系； (3)若与轴交于点，与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得三角形与三角形的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：A，B，C，D如图示，线段，即为所画的线段；    （2）∵，的纵坐标相同， ∴轴， 同理：轴， ∴． （3）如图，设，，则．      ∵，即 ∴，即，解得： ∴． 66．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，设，n＝1，2，3，…．    (1)依次写出，，，，，的值； (2)计算的值为 ； (3)计算的值． 【答案】(1)1，，，3，3，； (2)4 (3)1012 【分析】（1）根据平面直角坐标系结合各点横坐标即可得出答案； （2）根据，，进而得出答案； （3）根据，，…，，…，，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系结合各点横坐标，得：，，，，，的值分别为1，，，3，3，． （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，，…，，…， ， ∴． （23-24七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a，b，c满足． (1)求A，B，C三点的坐标． (2)若将线段平移，对应的线段是由C，D为端点的线段，求点D的坐标． (3)若第一象限存在点，使得的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用非负性求出的值即可； （2）分点A的对应点为C或B的对应点为C两种情况进行讨论求解即可； （3）分点P在下方和点P在上方，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵大于或等于0，大于或等于0，大于或等于0， ， 解得， ∴A，B，C三点的坐标分别为． （2）由（1）可知A，B，C三点的坐标分别为． 当点A的对应点为C时，平移的方式是向左平移了4个单位长度， ∴点B的对应点D的坐标为；    当点B的对应点为C时，平移的方式是先向左平移了1个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴点A的对应点D的坐标为， 综上所述，符合题意的点D的坐标为或． （3）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为， ． 如图， 当点P在下方时，连接． 点P的坐标为，且在第一象限， ，， ． 三角形的面积为， ，解得， ∴点P的坐标为． 如图， 当点P在上方时，连接，同理可得， 得，， ． 三角形的面积为， ，解得， 点P的坐标为 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$