第07讲 线段、角的轴对称性（4知识点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第07讲 线段、角的轴对称性 课程标准 学习目标 1 理解线段、角的轴对称性的特征； 2 能运用线段、角的轴对称性解决相关问题。 1. 深刻理解线段、角的轴对称性的概念； 2. 熟练掌握相关性质和应用。 知识点一、线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 知识点二、线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 知识点三、角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点四、角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 题型01 线段垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，则△ABD的周长为（　　） A．14 B．20 C．28 D．32 3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，BC＝4，△BCE的周长为10，则AB的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 4．线段是轴对称图形，它的对称轴是它的　 　，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　 　，到线段两端距离相等的点在线段的　 　． 题型02 线段垂直平分线的判定 1．如图，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G． （1）求证：AD是EF的垂直平分线； （2）若AB＝3，AC＝5，ED＝2，求△ABC的面积． 3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC于点F，若AC＝12，BC＝8，求AF的长． 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 题型03 角平分线的性质 1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝3，则线段PQ的长不可能是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上．若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 3．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是 　　cm2． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　　． 题型04 角平分线的判定 1．如图，已知在△BAC中，边BC的中垂线ED交BC于点E，交BA的延长线于点D，过点C作CF⊥BD，垂足为点F，交DE于点G．BC＝2DF，求证：点G在∠ABC的角平分线上． 2．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上． 4．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠CAB的角平分线上． 题型05 尺规作图 1．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹） 2．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）． 3．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 3．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（　　） A．1300m B．800m C．500m D．300m 4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝8，DE＝4，AC＝6，则S△ABC＝（　　） A．14 B．26 C．56 D．28 5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　） A．168° B．158° C．128° D．118° 6．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　 　． 7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于点E，当BC＝6，△BCE的面积为3时，DE的长为 　 　． 8．如图，已知BD平分∠ABC，AD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BC＝12cm，AB＝6cm，那么AE的长度为 　 　cm． 9．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　． 10．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积． 11．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由． 解：结论：　 　． 理由： 因为AD平分∠BAC（已知），所以 　 　（角的平分线的意义）． 因为∠B＝∠EAC，（已知）， 所以∠EAD＝∠2+∠EAC．（等式性质） 而∠EDA＝　 　+　 　.（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以∠EDA＝∠EAD（等量代换）． 请完成以下说理过程： 12．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 13．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 14．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ADC的平分线交直线AE于点O． （1）当点O在四边形ABCD的内部时． ①如图①，若AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DOE＝　 　°， （2）如图②，试探索∠B、∠C和∠DOE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点O在四边形ABCD的外部时，请你直接写出∠B、∠C和∠DOE之间的数量关系． 15．如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 16．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：GA平分∠DGB； （2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长． 17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 线段、角的轴对称性 课程标准 学习目标 1 理解线段、角的轴对称性的特征； 2 能运用线段、角的轴对称性解决相关问题。 1. 深刻理解线段、角的轴对称性的概念； 2. 熟练掌握相关性质和应用。 知识点一、线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 知识点二、线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 知识点三、角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点四、角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 题型01 线段垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，得到∠DAC＝∠C＝30°，计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°， ∵MN是AC边的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣30°＝70°， 故选：C． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，则△ABD的周长为（　　） A．14 B．20 C．28 D．32 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，进而解答即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E， ∴AD＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝8+12＝20， 故选：B． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，BC＝4，△BCE的周长为10，则AB的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，进而根据三角形的周长公式可得出答案． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AE＝CE． ∵△BCE的周长为10， ∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10， ∵BC＝4， ∴AB＝10﹣4＝6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 4．线段是轴对称图形，它的对称轴是它的　 　，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　 　，到线段两端距离相等的点在线段的　 　． 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可． 【解答】解：线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线或其本身所在的直线， 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故答案为：垂直平分线或其本身所在的直线；相等；垂直平分线上． 【点评】本题考查的是垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型02 线段垂直平分线的判定 1．如图，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用PB+PC＝AB，PB+PA＝AB，得到PC＝PA，则根据线段垂直平分线的逆定理，得到点P在线段AC的垂直平分线上，于是可判断C正确． 【解答】解：∵点P在AB上， ∴PB+PA＝AB， 又∵PB+PC＝AB， ∴PC＝PA， ∴点P在线段AC的垂直平分线上， 所以作线段AC的垂直平分线交AB于点P． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G． （1）求证：AD是EF的垂直平分线； （2）若AB＝3，AC＝5，ED＝2，求△ABC的面积． 【分析】（1）先根据角平分线的性质得到DE＝DF，则证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论； （2）先得到DF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AD是EF的垂直平分线； （2）解：∵DF＝DE＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD 2×32×5 ＝8． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的判断． 3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC于点F，若AC＝12，BC＝8，求AF的长． 【分析】先连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF＝EG，AE＝BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF＝BG，据此列出方程12﹣x＝8+x，求得x的值，即可得到AF长． 【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG， ∴CF＝CG， 在Rt△AEF和Rt△BEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL）， ∴AF＝BG， 设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x， ∴12﹣x＝8+x， 解得x＝2， ∴AF＝12﹣2＝10． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题； （2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明； 【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD∠BAC＝25°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°． （2）证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠DAC， ∵AD＝AD， ∴△AED≌△ACD， ∴AE＝AC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，AD平分线段EC， 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE＝AC． 题型03 角平分线的性质 1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝3，则线段PQ的长不可能是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】如图，作PB⊥OM于B，则PB＝PA＝3，由题意知，PQ≥PB＝3，然后判断作答即可． 【解答】解：如图，作PB⊥OM于B， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM， ∴PB＝PA＝3， 由题意知，PQ≥PB＝3， ∴线段PQ的长不可能是D， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短是解题的关键． 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上．若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出PE，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，PC＝2， ∴PE＝PC＝2， ∴S△PODOD•PE5×2＝5， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是 　　cm2． 【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3cm，OF＝OD＝3cm，利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC（AB+BC+AC）． 【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O， ∴OE＝OD＝3cm，OF＝OD＝3cm， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB×3BC×3AC×3 （AB+BC+AC） ＝27（cm2）． 故答案为：27． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　　． 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 题型04 角平分线的判定 1．如图，已知在△BAC中，边BC的中垂线ED交BC于点E，交BA的延长线于点D，过点C作CF⊥BD，垂足为点F，交DE于点G．BC＝2DF，求证：点G在∠ABC的角平分线上． 【分析】连接BG，根据线段垂直平分线性质得出CEBC，BG＝GC，推出∠FCB＝∠GBC，求出∠DFG＝∠CEG＝90°，DF＝CE，证△DFG≌△CEG，推出GF＝GE，根据角平分线性质得出∠FBG＝∠EBG即可． 【解答】解： 连接BG， ∵BC边中垂线ED， ∴CEBC，BG＝GC， ∴∠FCB＝∠GBC， ∵DE⊥BC，CF⊥BD， ∴∠DFG＝∠CEG＝90°， ∵CEBC，DFBC， ∴DF＝CE， 在△DFG和△CEG中 ∴△DFG≌△CEG， ∴GF＝GE， ∵DE⊥BC，CF⊥BD， ∴∠FBG＝∠EBG， ∴点G在∠ABC的角平分线上． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 2．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 【分析】首先作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F，利用∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，得出∠ABC＝∠CDF，进而证得△CBE≌△CDF，得出FC＝EC，即可求得结论． 【解答】证明：如图，作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF， 在△CBE和△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴FC＝EC， ∴点C在∠DAB的角平分线上． 【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，作出辅助线构建全等三角形是解决问题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上． 【分析】证明△BDE≌△DCF得到DE＝DF，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在△BDE和△DCF中， ， ∴△BDE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝DF， 而DE⊥AB，DF⊥AC， ∴D在∠BAC的角平分线上． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质． 4．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠CAB的角平分线上． 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答即可． 【解答】证明：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H， ∵∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P， ∴PF＝PG，PH＝PG， ∴PF＝PH，又PF⊥AB，PH⊥AC， ∴点P在∠CAB的角平分线上． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 题型05 尺规作图 1．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹） 【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点． 【解答】解：①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点； ②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点； ③连接BF，则射线BF即为∠ABC的角平分线； ⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点； ⑥连接GH交BF延长线于点P，则P点即为所求． 【点评】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握． 2．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】分别作出AD的垂直平分线及∠ABC的平分线，两线的交点即为P点的位置． 【解答】解：（1）①分别以A、D为圆心，以大于AD为半径画圆，两圆相交于E、F两点； ②连接EF，则EF即为线段AD的垂直平分线． （2）①以B为圆心，以大于AB长为半径画圆，分别交AB、BC为G、H； ②分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于点I，连接BI，则BI即为∠ABC的平分线． ③BI与EF相交于点P， 则点P即为所求点． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线及角平分线的作法．熟知线段垂直平分线及角平分线性质是解答此题的关键． 3．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【分析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出∠AOB的平分线OF，DE与OF相交于P点，则点P即为所求． 【解答】解：如图所示： （1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线； （2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）； （3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线及角平分线的作法及性质，熟知此知识是解答此题的关键． 1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】过P作PE⊥AO于P，由角平分线的性质推出PE＝PD＝2，即可得到点P到OA的距离是2． 【解答】解：过P作PE⊥AO于E， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB， ∴PE＝PD＝2， ∴点P到OA的距离是2． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出PE＝PD． 2．如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【分析】到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等． 【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 3．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（　　） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，推出DE＝CD＝BC﹣BD． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD为∠CAB的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝BC﹣BD＝800﹣500＝300（m）， 故选：D． 【点评】此题考查角平分线的性质定理，解答本题的关键要明确：角平分线上的点到角两边的距离相等． 4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝8，DE＝4，AC＝6，则S△ABC＝（　　） A．14 B．26 C．56 D．28 【分析】如图：作DF⊥AC交AC于点F，根据角平分线的性质可得DF＝DE＝4，再由S△ABC＝S△ADC+S△ADB求解即可． 【解答】解：如图，作DF⊥AC交AC于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝4， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到DF＝DE＝4是解题的关键． 5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　） A．168° B．158° C．128° D．118° 【分析】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°． 【解答】解：如图，连接CE， ∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C， ∴CA＝CB，CE＝CD， ∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC， ∴∠ACB＝∠ECD＝36°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠AEC＝∠BDC， 设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α， ∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°， ∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 6．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　22　． 【分析】由AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，AE＝EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长． 【解答】解：因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， 所以AD＝BD，AE＝EC， 所以BC＝BD+DE+CE＝AD+DE+AE，即为△ADE的周长， 又因为△ADE的周长为22， 所以BC＝22． 故答案为：22． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键掌握数形结合思想与转化思想的应用． 7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于点E，当BC＝6，△BCE的面积为3时，DE的长为 　1　． 【分析】过点E作EF⊥BC于F，根据三角形面积计算公式求出EF＝1，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE＝EF＝1． 【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥BC于F， ∵BC＝6，△BCE的面积为3， ∴∵S△BCEBC•EF＝3， ∴EF＝1， ∵CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于点E， ∴DE＝EF＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 8．如图，已知BD平分∠ABC，AD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BC＝12cm，AB＝6cm，那么AE的长度为 　3　cm． 【分析】根据BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，则DE＝DF，又AD＝CD，故Rt△ADE≌Rt△DFC，所以AE＝CF，再证明Rt△BDE≌Rt△BDF可得BF＝BE，问题解决． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， 又∵AD＝CD， ∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL）， ∴AE＝CF， ∵， ∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL）， ∴BE＝BF， ∵BE＝AB+AE＝6+AE， ∴BF＝6+AE． ∴BC＝6+AE+CF＝12， 即12＝6+2AE， 解得：AE＝3（cm）， 故答案为：3cm． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定定理、角平分线的性质的应用，理解题意，搞清楚数量关系是关键． 9．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　． 【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系． 【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠BAC） ＝90°∠BAC， 即∠BAC＝2∠BPC﹣180°； 如图，连接AO． ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC） ＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC）， ＝2∠OAB+2∠OAC ＝2∠BAC ＝2（2∠BPC﹣180°） ＝4∠BPC﹣360°， 故答案为：4∠BPC﹣360°． 【点评】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE＝DF＝2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F． ∵BD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝2， 又∵AB＝6，BC＝4， ∴ ． 【点评】此题主要考查了角平分线上的点到角两边距离相等的性质．利用线段相等对线段进行等效转移是求得面积的关键． 11．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由． 解：结论：　∠AEF＝∠DEF　． 理由： 因为AD平分∠BAC（已知），所以 　∠1＝∠2　（角的平分线的意义）． 因为∠B＝∠EAC，（已知）， 所以∠EAD＝∠2+∠EAC．（等式性质） 而∠EDA＝　∠B　+　∠1　.（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以∠EDA＝∠EAD（等量代换）． 请完成以下说理过程： 【分析】直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【解答】解：结论：∠AEF＝∠DEF． 因为AD平分∠BAC（已知）， 所以∠1＝∠2（角的平分线的意义）． 因为∠B＝∠EAC，（已知）， 所以∠1+∠B＝∠2+∠EAC．（等式性质） 而∠EDA＝∠1+∠B（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）， ∠EAD＝∠2+∠EAC， 所以∠EDA＝∠EAD（等量代换）． 所以 EA＝ED（ 等角对等边）． 又因为AF＝DF（线段中点的意义） 所以∠AEF＝∠DEF（ 等腰三角形的三线合一）． 故答案为：∠AEF＝∠DEF，∠1＝∠2，∠1+∠B． 【点评】此题考查了角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出EA＝ED是解题关键． 12．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 【分析】（1）由角平分线的对称性直接证明△DBE≌△DBF即可求解； （2）先算出三角形ABD的面积，再得出三角形BCD的面积，高DF＝DE＝5，从而直接算出BC． 【解答】解：（1）∠EDB与∠FDB相等，理由如下： ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD＝∠FBD， 在△BDE和△BDF中， ∵， ∴△DBE≌△DBF（AAS）， ∴∠EDB＝∠FDB； （2）∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5， ∴S△ABDAB•DE＝40， ∴S△BCDBC•DF＝70﹣40＝30， ∴BC＝12． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，难度中等．熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 13．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键． 14．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ADC的平分线交直线AE于点O． （1）当点O在四边形ABCD的内部时． ①如图①，若AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DOE＝　125　°， （2）如图②，试探索∠B、∠C和∠DOE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点O在四边形ABCD的外部时，请你直接写出∠B、∠C和∠DOE之间的数量关系． 【分析】（1）由平行线可得∠B+∠BAD＝180°，∠C+∠ADC＝180°，再根据∠B＝40°，∠C＝70°得出∠BAD＝140°，∠ADC＝110°，根据角平分线的定义即可得出∠OAD∠BAD＝70°，∠ADO∠ADC＝55°，进而得出答案； （2）由平行线可得∠B+∠BAD＝180°，∠C+∠ADC＝180°，再根据角平分线的定义即可得出∠OAD∠BAD，∠ADO∠ADC，又由外角的性质得出答案； （3）根据角平分线的定义得出∠OAD∠BAD，∠ADO∠ADC，再根据四边形的内角和得出∠OAD+∠ADO（∠BAD+∠ADC）＝180°（∠B+∠C），最后根据三角形的内角和得出答案． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠B+∠BAD＝180°，∠C+∠ADC＝180°， ∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°， ∵∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ADC的平分线交直线AE于点O， ∴∠OAD∠BAD＝70°，∠ADO∠ADC＝55°， ∴∠DOE＝∠OAD+∠ADO＝70°+55°＝125°， 故答案为：125． （2）∠B+∠C+2∠DOE＝360°，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠B+∠BAD＝180°，∠C+∠ADC＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B，∠ADC＝180°﹣∠C， ∵∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ADC的平分线交直线AE于点O， ∴∠OAD∠BAD＝90°∠B，∠ADO∠ADC＝90°∠C， ∴∠DOE＝∠OAD+∠ADO＝90°∠B+90°∠C＝180°（∠B+∠C）， ∴∠B+∠C+2∠DOE＝360°． （3）∠B+∠C＝2∠DOE，理由如下： ∵∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ADC的平分线交直线AE于点O， ∴∠OAD∠BAD，∠ADO∠ADC， 在四边形ABCD中， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠B+∠C）， ∴∠OAD+∠ADO（∠BAD+∠ADC）＝180°（∠B+∠C）， ∴∠DOE＝180°﹣[180°（∠B+∠C）]， ∴∠DOE（∠B+∠C）， ∴∠B+∠C＝2∠DOE． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质定理是解题的关键． 15．如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P． 【解答】解：如图，点P为所求． 【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质． 16．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：GA平分∠DGB； （2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长． 【分析】（1）先过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF＝AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，即可得出∠AGF＝∠AGH； （2）先判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积＝3，进而得到FG的长． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即DE×AFBC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， ∴∠AGF＝∠AGH， 即GA平分∠DGB； （注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直接得到GA平分∠DGB．） （2）∵△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH， ∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL）， ∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG， ∴Rt△AFG的面积＝3， ∵AF， ∴FG3， 解得FG＝4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进而可求解； （2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝55°， ∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°， ∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°； （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF； （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC•ENCD•EH（AC+CD）•EM＝21， 即， 解得EM＝3， ∵AB＝8.5， ∴S△ABEAB•EM． 【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$