精品解析：云南省大理州2023-2024学年高一下学期普通高中教学质量监测数学试卷

2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测 高一数学试卷 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 2 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 10. 已知中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则是等腰三角形 11. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（ ） A. 当时，正四棱锥的侧面积为 B. 当时，正四棱锥的体积为 C. 当时，正四棱锥的外接球半径为 D. 当时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设向量，若向量与平行，则__________. 13. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为__________. 14. 周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点和千寻塔塔底在同一水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100米到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角，则可求得塔高为__________米（参考数据0.68）；若塔顶端包含一个塔尖，且约8米，小华在线段间走动到点时，他直立看塔尖的视角最大（即最大），则此时他距离塔身的距离（即）为__________米. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生； （2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到. 16. 已知的内角的对边分别为，且__________. 从以下条件中选择一个填入横线后再解答. ①； ②. （1）求角； （2）若，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点，平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. 18. 已知函数，函数. （1）试判断函数的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于的不等式； （2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题 ①已知，求的值； ②恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测 高一数学试卷 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用补集的概念求出，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由可得或， 又，所以. 故选：A. 3. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 4. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可； 【详解】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则相交或或，故D错误； 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，所以， 所以 . 故选：C 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】分和的情况分别考虑四个选项. 【详解】当时，表示一正一反，故，故A正确； 表示两个正面，此时，故B正确； 当时，表示既有正面朝上又有反面朝上， 故，故C正确； 当时，表示既有正面朝上又有反面朝上， 故，故D错误. 故选：D. 7. 如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B. 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数的周期即可求出. 【详解】由函数是R上的奇函数，得， 即，则， 由为偶函数，得，于是， 显然有，因此，即， 函数的周期为4，由，得，又， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 ①关于轴对称， ②关于中心对称， ③的一个周期为， ④的一个周期为. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的性质逐一判断即可. 【详解】，故A正确； ，所以不是对称轴，故B错误； ，所以是的一个零点，故C正确； 因为振幅，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则是等腰三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】根据大角对大边判断A，由正弦定理及余弦函数的性质判断B，利用余弦定理判断C，利用二倍角公式判断D. 【详解】对于A：因为，根据大角对大边可得，故A正确； 对于B：因为，由正弦定理可得，所以， 由在上单调递减，所以，故B正确； 对于C：若是锐角三角形，则，所以，故C错误； 对于D：若，则， 又，所以， 所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AB 11. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（ ） A. 当时，正四棱锥的侧面积为 B. 当时，正四棱锥的体积为 C. 当时，正四棱锥的外接球半径为 D. 当时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出正四棱锥，对于A，四棱锥的侧面积为，对于B，求出四棱锥的高，可求出其体积，对于C，设正四棱锥的外接球的球心为，则在上，由可求出外接球的半径，对于D，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径. 【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥， 对于A，当时，则， 设为的中点，连接，则， 所以四棱锥的侧面积为，所以A正确， 对于B，设，连接，则平面，， 所以， 所以四棱锥的体积为，所以B正确， 对于C，设正四棱锥的外接球的球心为，则在上，连接， 设外接的半径为，则， 在中，，所以，解得，所以C正确， 对于D，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为， 则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则， 所以，解得，所以D错误， 故选：ABC 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设向量，若向量与平行，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出向量的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出的值； 【详解】因为向量， 若向量与平行，所以， 解得. 故答案为：. 13. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断. 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处. 因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数， 右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有. 故答案为：. 14. 周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点和千寻塔塔底在同一水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100米到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角，则可求得塔高为__________米（参考数据0.68）；若塔顶端包含一个塔尖，且约8米，小华在线段间走动到点时，他直立看塔尖的视角最大（即最大），则此时他距离塔身的距离（即）为__________米. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意在中，由正弦定理可求的值，进而求解的值，即可根据即可计算；设，利用两角差的正切公式，基本不等式可求的最大值，即可求解. 【详解】因为，，所以，在中，，由正弦定理得，， 所以，， 所以. 因为，所以， 设，，， 所以 ，当且仅当，即时，最大，所以. 故答案为：；. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生； （2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到. 【答案】（1）区间中应抽4人，区间中应抽6人，中应抽18人，区间中应抽12人 （2）良好的最低分数线84.5分，优秀的最低分数线为分 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样按比例得出每个区间分别抽取学生人数； （2）利用平均数和概率公式计算良好的最低分数线和优秀的最低分数线. 【小问1详解】 依题意，设四个区间人数依次为：，则 所以区间中应抽人，区间中应抽6人，中应抽18人，区间中应抽12人. 【小问2详解】 平均分为， 所以良好的最低分数线84.5分 由频率分布直方图易得，的频率为， 所以成绩优秀的最低分数线落在区间中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩优秀的最低分数线为分 16. 已知的内角的对边分别为，且__________. 从以下条件中选择一个填入横线后再解答. ①； ②. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，则利用正弦统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；若选②，利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案； （2）对两边平方化简，结合余弦定理可求出，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 选①，由， 得：，所以， 由余弦定理， 又，所以. 选②，由， 得， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以由余弦定理得， 所以，所以， 故， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点，平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结， 点是对角线的交点，所以是的中点， 因为是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）只需由中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得解； （2）通过平行的传递性将原问题转换为：求与所成的角即为或其补角的余弦值，再结合解三角形相关知识进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结， 由于平面平面，且平面平面，，且平面， 所以平面，平面， 所以， 又因为，所以，则， 又，， 异面直线与所成的角为与所成的角即为或其补角， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知函数，函数. （1）试判断函数的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于的不等式； （2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题 ①已知，求的值； ②恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数，在上为增函数；. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式； （2）①观察函数和的结构，结合题干提示，计算的值，从而得到和的关系式，继而求出的值； ②利用①小问中和的关系式，将题干不等式转化为关于的不等式.结合的定义和基本不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数； 因为在上单调递增，在上单调递减， 在上为增函数； 由，所以， 由于在上单调递增，所以，解得， 所以x的解集是. 【小问2详解】 ①. 由，则，而， 所以. ②由①可知， 所以，即， 因为，当即时等号成立，所以. 故. 而，当时等号成立， 所以. 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 【答案】（1） （2）①②最小值为， 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解； （2）①分别得出，，，然后列方程求解即可； ②得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， ， 所以； 【小问2详解】 ①因为，， ，， ， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去，因为）， 则； ②依题意设，， 因为为AB中点，则， 同理， 则， 在中，，依据余弦定理得， 所以 在中，，由正弦定理， 设，则，， ，， 所以，当时，取最小值，此时取最小值， . 【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $