2025届新高三学情摸底考01-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

保密★启用前 2025届新高三学情摸底考01（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：，则， 所以在复平面内的共轭复数对应的点位，位于第一象限. 故选：A. 3．向量，且∥，则实数（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可得，结合向量平行的坐标运算分析求解. 【详解】因为，则， 若∥，则，解得. 故选：D. 4．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得. 【详解】由，得. 故选：B 6．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 7．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱的高为，内壁的表面积为，可得，可得，利用几何体的几何特征可求内壁表面积. 【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为， 由题意可知：，解得， 内壁的表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积， 即. 故选：D. 8．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可. 【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知事件满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B．事件A与事件B可能为对立事件 C．若事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与事件B互斥，则 【答案】ACD 【分析】选项A，利用相互独立事件的定义，即可求解；选项B，利用对立事件的概率和为1，即可求解；选项C，利用相互独立事件的概率公式，即可求解；选项D，利用互斥事件的概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，根据相互独立事件的定义易知选项A正确； 对于选项B，对立事件的概率和为1，但．故选项B错误； 对于选项C，根据相互独立事件的定义，，故选项C正确； 对于选项D，事件A与事件B互斥，则，故选项D正确. 故选：ACD． 10．若函数的图象经过点，则（    ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】ACD 【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间. 【详解】由题，又，故，所以， 对于A，令，则， 所以的对称中心为， 当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，由上的最小正周期为，故B错误； 对于C，当，，故，故C正确； 对于D，令，所以， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令即，所以即， 所以函数的零点为，    所以函数的单调递增区间为，故D正确. 故选：ACD. 11．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（    ） A．为上的单调递增函数 B．为奇函数 C．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值 D．若函数为正比例函数，则函数有两个零点 【答案】AB 【分析】选项A，利用函数单调性的定义，设，，得出即可得证；选项B，先得出，再设，得出，即可得证；选项C，在前提下，求函数的导函数，分析导函数的正负，得出函数的单调性以及极值即可；选项D，在前提下，函数，利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可. 【详解】对于选项A，设，且，， ，即， 故单调递增，选项A正确； 对于选项B，是定义在上的函数，取，则， 取，则，即， 故是奇函数，选项B正确； 对于选项C、D，设，代入，得， 其中C选项，，， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 函数在处取极大值，无极小值，选项C错误； 其中D选项，函数， 其中， ，， ， 由零点存在性定理可知，函数分别在区间，和上 各至少存在一个零点，选项D错误； 故选：AB 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．在展开式中，含项的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式定理及组合数的性质计算可得. 【详解】 ， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中含项的系数为： . 故答案为： 13．在中，的角平分线交于，则 . 【答案】 【分析】在中，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，根据角平分线的性质可得：，在中，由正弦定理可得：即可求解. 【详解】因为在中，    由余弦定理可得：，解得 由正弦定理可得：，即，解得：， 因为的角平分线交于，所以，由角平分线性质可得：，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，解得： 故答案为： 14．已知分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，且为等边三角形；过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义可得 【详解】 由，得 因为为等边三角形，， 且过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以DE为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为， 故答案为：16 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知内，且两组成绩的总平均数为62和总方差为23.求落在的平均成绩以及方差. 【答案】(1)(2)84.(3)平均数为65，方差为4 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据百分位数的计算公式即可求解， （3）根据平均数的计算可得的平均数，即可利用总体方差公式即可求解. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以的平均数为x，方差为，，则. 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为，计算可得方差为4. 16．（15分）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以. （2）， 所以 17．（15分）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证； （2）过点M作垂足为F，根据线面垂直的判定可证平面BMN，然后根据平面几何知识求出，进而求出即可得. 【详解】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN， 18．（17分）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2)，；(3)证明见解析，定点 【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解； （2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点. 【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； （2）由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； （3）当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点， 综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 19．（17分）对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． (1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； (3)求证：． 【答案】(1);(2)证明见详解；(3)证明见详解. 【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可； （3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明. 【详解】（1）由题意，函数，且， 则， ， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： . （2）由（1）可知，， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： ， 其中，介于与之间的常数， 所以， 因为为常数项，且， 所以函数为偶函数， 因为， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以， 故对任意的，. （3）由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为 ， 所以， 令， 则， 所以， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2025届新高三学情摸底考01（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．向量，且∥，则实数（    ） A．5 B． C．2 D． 4．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知事件满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B．事件A与事件B可能为对立事件 C．若事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与事件B互斥，则 10．若函数的图象经过点，则（    ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 11．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（    ） A．为上的单调递增函数 B．为奇函数 C．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值 D．若函数为正比例函数，则函数有两个零点 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．在展开式中，含项的系数是 .（用数字作答） 13．在中，的角平分线交于，则 . 14．已知分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，且为等边三角形；过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知内，且两组成绩的总平均数为62和总方差为23.求落在的平均成绩以及方差. 16．（15分）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（15分）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 19．（17分）对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． (1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； (3)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$