1.3 一元二次方程的根与系数的关系（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.3 一元二次方程的根与系数的关系（六大题型提分练） 题型一 一元二次方程根与系数关系的直接应用 1．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津南开·一模）下列方程中两根之和为2的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·四川乐山·中考真题）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为 ． 4． （2024·广东东莞·三模）已知方程的两根是，则的值是 ． 题型二 利用根与系数的关系构造一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程的两根分别是，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东省湛江·期中）若方程与方程的解相同，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根为1，则你构造的一元二次方程是 ． 题型三 利用根与系数的关系求代数式的值 1．（2023·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）实数m，n分别满足，且，则的值是 ． 4．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 5．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 6．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 题型四 已知方程一根求方程的另一根 1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（2023·湖南·中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 3．已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 题型五 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 1．（2023·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 3．（2023·四川达州·中考真题）已知是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 4．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 题型六 根的判别式和根与系数的关系的综合应用 1．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 2．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A． B． C．或3 D．或3 3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 4．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为 ． 5．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 6．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．3或 B．或9 C．3或 D．或6 2．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 4．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 5．（2022·四川巴中·中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 6．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 7．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ． 8．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是_________________. 9．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 10．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 11．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 12．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 一元二次方程的根与系数的关系（六大题型提分练） 题型一 一元二次方程根与系数关系的直接应用 1．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 2．（2024·天津南开·一模）下列方程中两根之和为2的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、的两根之和为，故A错误； B、由可知：，该方程无实数根，故B错误； C、的两根之和为，故C正确； D、的两根之和为，故D错误． 故选：C． 3．（2022·四川乐山·中考真题）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为 ． 【解析】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为， 设另一根为，则， ， ， 故答案为：. 4． （2024·广东东莞·三模）已知方程的两根是，则的值是 ． 【解析】解：∵的两根是， ， ． 故答案为：4． 题型二 利用根与系数的关系构造一元二次方程 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的方程的两根分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，， ∴， 故选D． 2.（2024·广东省湛江·期中）若方程与方程的解相同，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C  【解析】解：方程的解为，， 方程的解为也是，， ，， ，， 故选C． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根为1，则你构造的一元二次方程是 ． 【解析】解：一元二次方程的一个根为2，另一根为1， 令，，一元二次方程为， 由一元二次方程的根与系数的关系可得：，， ，， 当时，，， 一元二次方程为：， 故答案为：． 题型三 利用根与系数的关系求代数式的值 1．（2023·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 【答案】A 【解析】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）实数m，n分别满足，且，则的值是 ． 【解析】解：由题可知，m和n是的两个根， 所以， 所以； 故答案为：． 4．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【解析】解： ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 5．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 【解析】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【解析】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 题型四 已知方程一根求方程的另一根 1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】设x2+x+m＝0另一个根是α， ∴﹣1+α＝﹣1， ∴α＝0， 故选：B． 2．（2023·湖南·中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 【解析】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 3．已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 【解析】解：设关于x的一元二次方程x2﹣（k-1）x﹣6=0的另一根为m， 根据根与系数的关系得，-3+m=k-1，-3m=-6， ∴m=2，k=0， 即：k的值为0，方程的另一个根为2． 题型五 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 1．（2023·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 3．（2023·四川达州·中考真题）已知是方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【解析】∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴解得． 故答案为：7． 4．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【解析】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 题型六 根的判别式和根与系数的关系的综合应用 1．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【解析】解： ， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 2．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A． B． C．或3 D．或3 【答案】A 【解析】解：由题意可知：，且 ∵， ∴，解得：或， ∵，即， ∴， 故选：A 3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 4．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为 ． 【详解】解：设方程的两个根分别为a，b， 由题意得：，， ∴， ∴，解得：， 经检验：是分式方程的解， 检验：， ∴符合题意， ∴． 故答案为：2． 5．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 6．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【解析】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．3或 B．或9 C．3或 D．或6 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ,则两根为：3或-1， 当时，， 当时，， 故选：A． 2．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【答案】A 【解析】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 4．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 【答案】A 【解析】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 5．（2022·四川巴中·中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【解析】解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 6．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【解析】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 7．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ． 【解析】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 8．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是_________________. 【解析】解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故答案为：． 9．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 【解析】（1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 10．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【解析】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 11．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【解析】（）【探究】∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， 故答案为：，； （）【应用】∵， ∴，为方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， （）【推广】：， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：正数的最小值为． 12．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 【解析】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$