专题09三角形、全等三角形【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题09 三角形、全等三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1三角形基础定义 （5年2考） 2022·北京：三角形角平分线性质、三角形面积 2022·北京：三角形内角和证明 三角形是基础几何图形之一，中考命题点侧重于对基础概念、命题的理解和运用，包括三角形内角和、三角形三边关系、三角形中重要线段、三角形面积、特殊三角形、勾股定理、尺规作图等。中考卷中，单一知识点的出题较少，多与其他几何图形、甚至是函数相结合，以综合题的形式考察。 考点2 尺规作图依据 （5年2考） 2024·北京：作一个角等于已知角 2021·北京；作线段垂直平分线 考点3 全等三角形 （5年2考） 2020·北京：添加条件使得三角形全等 2023·北京：全等三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、三角形的三边关系等知识 考点1三角形基础定义 1. （2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则 ． 2. （2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    考点2 尺规作图依据 3. （2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4. （2021·北京·中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向． （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）； （2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：在中，______________，是的中点， （______________）（填推理的依据）． ∵直线表示的方向为东西方向， ∴直线表示的方向为南北方向． 考点3 全等三角形 5. （2020·北京·中考真题）在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）    6. （2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7. （2024·北京海淀·二模）如图，，点A在上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点B，C，连接AC，BC．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8. （2024·北京西城·二模）如图，点为线段的中点，，点分别在射线上，与均为锐角，若添加一个条件一定可以证明，则这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 9. （2024·北京顺义·二模）如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ①  ② ③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．② D．①②③ 10. （2024·北京石景山·一模）如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11. （2024·北京西城·一模）如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 12. （2024·北京大兴·二模）在四边形中，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 13. （2024·北京海淀·一模）如图，在中，，，．点D在射线上运动（不与点B重合）．当的长为 时，． 14. （2024·北京·三模）如图，在中，平分，．若，，则 ． 15. （2024·北京房山·二模）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长为 ． 16. （2024·北京西城·二模）如图，是的角平分线，于点．若，的面积为，则点到边的距离为 ． 17. （2024·北京·二模）如图，在中，平分于点E．若则 ． 18. （2024·北京·模拟预测）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为 ． 19. （2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 20. （2024·北京朝阳·二模）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 21. （2024·北京朝阳·一模）如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 22. （2024·北京·三模）已知：如图． 求作：点D（点D与点B在直线的异侧），使得点D在的角平分线上，且． 作法：①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为D，则点D就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（______）（填推理的依据） ∵， ∴．（______）（填推理的依据） ∴．（______）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 23. （2024·北京西城·二模）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 24. （2024·北京西城·二模）已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （ ）（填推理的依据）， ． ． ． ． ， ． ． 25. （2024·北京东城·一模）我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角形、全等三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1三角形基础定义 （5年2考） 2022·北京：三角形角平分线性质、三角形面积 2022·北京：三角形内角和证明 三角形是基础几何图形之一，中考命题点侧重于对基础概念、命题的理解和运用，包括三角形内角和、三角形三边关系、三角形中重要线段、三角形面积、特殊三角形、勾股定理、尺规作图等。中考卷中，单一知识点的出题较少，多与其他几何图形、甚至是函数相结合，以综合题的形式考察。 考点2 尺规作图依据 （5年2考） 2024·北京：作一个角等于已知角 2021·北京；作线段垂直平分线 考点3 全等三角形 （5年2考） 2020·北京：添加条件使得三角形全等 2023·北京：全等三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、三角形的三边关系等知识 考点1三角形基础定义 1. （2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则 ． 【答案】1 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 2. （2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    【答案】答案见解析 【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． 方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为． 【详解】证明： 方法一：过点作，    则，． 两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 如图，过点C作    ∵CD//AB， ∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°． 即三角形的内角和为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 考点2 尺规作图依据 3. （2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 4. （2021·北京·中考真题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向． （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）； （2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：在中，______________，是的中点， （______________）（填推理的依据）． ∵直线表示的方向为东西方向， ∴直线表示的方向为南北方向． 【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一 【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D； （2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答． 【详解】解：（1）如图所示： （2）证明：在中，，是的中点， （等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）． ∵直线表示的方向为东西方向， ∴直线表示的方向为南北方向； 故答案为，等腰三角形的三线合一． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键． 考点3 全等三角形 5. （2020·北京·中考真题）在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）    【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD） 【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 【详解】解： 要使 则可以添加：∠BAD=∠CAD， 此时利用边角边判定： 或可以添加： 此时利用边边边判定： 故答案为：∠BAD=∠CAD或（） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 6. （2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，    ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7. （2024·北京海淀·二模）如图，，点A在上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点B，C，连接AC，BC．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，等边对等角，先根据题意得出，求出，根据平行线的性质得出，即，进而可得出答案． 【详解】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B、C， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 8. （2024·北京西城·二模）如图，点为线段的中点，，点分别在射线上，与均为锐角，若添加一个条件一定可以证明，则这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 由于，，则可根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：如图： 点为线段的中点， ， ， A、当添加时，，故本选项不符合题意； B、当添加时，不能确定，故本选项符合题意； C、当添加时，，故本选项不符合题意； D、当添加时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. （2024·北京顺义·二模）如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ①  ② ③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．② D．①②③ 【答案】B 【分析】连接，当平分，即时，即证明，可得出，当不平分，若时，，若时，，可判定①错误；根据，又由，可得，可判定②正确；证明，得出，又根据，则可得出，可判定③正确． 【详解】解：连接， 当平分，即时， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴即； 若时，，即， 若时，，即， 故①错误； ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 故正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰直三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 10. （2024·北京石景山·一模）如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．证明，推出，，推出，再利用等腰三角形的性质，可以判定①正确；连接，根据，可以判定②错误；是内部的射线且，可得，推出，推出，推出，故③正确． 【详解】解：，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，故①正确， 连接，则， ，， ， ， ，故②错误， 是内部的射线且， ， ， ， ，故③正确． 故选：B． 11. （2024·北京西城·一模）如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系． 【详解】解：∵在中，，即， 在中，，即， ∴ ， 即， 故①正确． ∵在中，， 在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， 即， 即， ∴， ∴， 故②错误． ∵， ∴， ∵的实数根为： ， ∴的长是关于 x 的方程 的一个实数根， 故③正确． 综上①③正确， 故选：B． 12. （2024·北京大兴·二模）在四边形中，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，运用根据，或添加条件是解题的关键． 【详解】解：添加条件， 在和中， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 13. （2024·北京海淀·一模）如图，在中，，，．点D在射线上运动（不与点B重合）．当的长为 时，． 【答案】8 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即当的长为8时，． 故答案为：8 14. （2024·北京·三模）如图，在中，平分，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作，交于点，结合角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】过点作，交于点， ∵，，平分， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 15. （2024·北京房山·二模）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查段垂直平分线的性质的应用，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：12 16. （2024·北京西城·二模）如图，是的角平分线，于点．若，的面积为，则点到边的距离为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等成为解题的关键． 过D作交延长线于F，根据角平分线的性质定理可得，再根据已知条件可得，进而完成解得． 【详解】解：过D作交延长线于F， ∵是的角平分线，于点． ∴， ∵，的面积为， ∴，即，解得：， ∴，即点到边的距离为1． 故答案为1． 17. （2024·北京·二模）如图，在中，平分于点E．若则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 利用角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ， ∴的面积， 故答案为：15． 18. （2024·北京·模拟预测）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查主要考查角平分线的性质，作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据即可求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示． ∵平分，且， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：1． 19. （2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的判定定理，熟练应用角平分线的判定定理是解题关键，先证，再求出即可求出结论． 【详解】解：，，且， ， ，， ， 故答案为：35． 20. （2024·北京朝阳·二模）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 21. （2024·北京朝阳·一模）如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等． （1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【答案】 角平分线 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个三角形内大角对大边． （1）利用角平分线的性质定理判断即可； （2）首先得出为的内心，进而得出，在中，推出，同理，，，，即可得出答案． 【详解】解：（1）点到每条公路的距离相等， 点是的角平分线的交点． 故答案为：角平分线； （2）共有6条线路：，，，，，， 在上截取，连接， 在和中， ， ， ， 在中， 推出， 同理，，，， 最短， 故答案为：． 22. （2024·北京·三模）已知：如图． 求作：点D（点D与点B在直线的异侧），使得点D在的角平分线上，且． 作法：①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为D，则点D就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（______）（填推理的依据） ∵， ∴．（______）（填推理的依据） ∴．（______）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 【答案】(1)如图，点D为所作： (2)圆内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等；等弧所对的圆周角相等． 【分析】（1）根据 题干中的做法画图即可； （2）连接，，，，，，首先得到，然后证明出，然后由得到，即可证明出点D在的角平分线上． 【详解】（1）如图所示， （2）证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据） ∵， ∴．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等）（填推理的依据） ∴．（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 【点睛】此题考查了尺规作图，圆内接四边形性质，等弧所对的圆周角相等以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. （2024·北京西城·二模）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，图见解析； (2)，理由见解析，图见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系． （1）当点D与点B重合时，是等腰三角形，等边对等角， 可求的度数，可求的度数． （2）在的延长线上截取连接，以点B为圆心为半径作弧，交于点N，连接， 证明可得即可得到和的等量关系． 【详解】（1）解：补全图形见图： ∵点与点重合， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：补全图形如图： ，理由如下： 如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. （2024·北京西城·二模）已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （ ）（填推理的依据）， ． ． ． ． ， ． ． 【答案】（1）见详解；（2）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，， 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接，，． 点在线段的垂直平分线上， （线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）， ． ． ． ． ， ． ． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，，． 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25. （2024·北京东城·一模）我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 【答案】情况一（或情况二或情况三），证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质， 选择情况一时，延长到，使，连接，全等，得，再证即可得出结论；选择情况二时，由已知可得为线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得出结论；选择情况三时，可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：选择情况一，证明如下： 延长到E，使，连接，如图所示： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 选择情况二，证明如下： ∵于D， ∴为线段的垂直平分线， ∴； 选择情况三，证明如下： ∴于D， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$