精品解析：广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试卷 数学 命题人：黄燕 审题人：陈宇峰 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的. 1. 已知非空集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，解不等式可求出实数a的取值范围. 【详解】因为集合是非空集合， 所以，解得或， 即实数a的取值范围为， 故选：C 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故. 【详解】构造函数，则在上单调递增， 所以． 故选：C． 3. 函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出，求导，直线的斜率为，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标 【详解】设函数与直线相切于点， 直线的斜率为， ，所以，所以． 故选：B． 4. 若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论数字之和为3的情况，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知数字之和为3有：0，1，1，1或0，0，1，2或0，0，0，3， 若0，1，1，1，这样的四位数共有个； 若0，0，1，2，这样的四位数共有个； 若0，0，0，3，这样的四位数共有1个； 综上所述：共有个. 故选：A. 5. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 6. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，进而利用三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】由余弦定理得，即，解得， 所以三角形的面积为. 故选：A 7. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可 【详解】由题,, 因为,则若函数在区间存在单调递减区间, 即在上有解, 即存在,使得成立, 设,则, 当时,, 所以,即, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想 8. 已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，结合分母有理化及数列求和中的裂项相消法即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， ,解得 . 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】BC 【解析】 【分析】第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：，所以选项B正确；，所以选项C正确；此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误. 【详解】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误： 随机变量，则，所以选项B正确； 经验回归方程为，且，则，所以选项C正确； 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误. 故选：BC． 10. 已知三棱锥是边长为2的正三角形，分别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（ ） A. 两两垂直 B. 在平面的投影为的中点 C. 三点共线 D. 形如三棱锥的容器能被整体装入一个直径为2.5的球 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到⊥平面，结合勾股定理逆定理得到三条侧棱两两垂直；B选项，作出辅助线，得到在平面的投影不为的中点；C选项，根据正三棱锥的特征得到三点共线；D选项，求出三棱锥的外接球直径，与比较后得到答案. 【详解】A选项，因为分别为的中点，所以， 因为，所以，故， 取的中点，连接， 因为，所以⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 又，，故， 又，， 由勾股定理逆定理得⊥，两两垂直，A正确； B选项，由题意得不重合，过点作，交于点， 因为⊥平面，所以⊥平面， 且不重合，故在平面的投影不为的中点，B错误； C选项，三棱锥为正三棱锥，故点为等边三角形的中心， 故三点共线，C正确； D选项，因为两两垂直，故三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球， 故外接球直径为，而， 形如三棱锥的容器能被整体装入一个直径为的球，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 11. 甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”，则，，且，，利用全概率公式可判断ABC，利用独立事件的概率乘法公式可判断D． 【详解】对于，设事件表示“第次答题者是甲”，事件表示“第次答题者是乙”， 则，， 又因为，， 所以， 即，故A错误； 对于B，表示第1次回答问题结束后甲的得分为0， 则，故B正确； 对于C，第次答题者是甲，有两种情况：①第次答题者是甲，且甲在第次回答问题时回答正确， ②第次答题者是乙，且乙在第次回答问题时回答错误， 由全概率公式可得，，故C正确； 对于D，表示第次回答问题结束后甲的得分为，则第1次答题者是甲， 且甲在次回答问题时都回答正确， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】2560 【解析】 【分析】利用赋值法求解，令可求得答案 【详解】令，则. 故答案为：2560 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知结合点差法及直线的斜率公式可得a，b，c的关系，然后结合离心率公式即可求解． 【详解】由题意可知关于原点对称， 故可设， 因为直线斜率的乘积为3， 所以, 因为，， 两式相减得，，所以， 故． 故答案为：2． 14. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再确定点的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答. 【详解】在正方体中，连接，如图，对角面为矩形， 因为点分别是棱的中点，则，而， 即平面截正方体所得截面为梯形，显然过点与平面平行的平面交平面、平面 分别于，因此，连，平面、平面与平面分别交于，， 因此，而，即四边形为平行四边形，于是， 即点M为的中点，同理为中点，，因为动点始终满足平面， 于是平面，又在侧面上，所以点的轨迹是线段，轨迹长为； 以点D为原点建立空间直角坐标系，则， 则，令， 则有，， 于是点到直线的距离， 当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 已知正项数列的前项积为，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】(1)根据，结合已知等式可求的递推公式，证明为常数即可； (2)根据(1)和等比数列通项公式可求，根据的特征，采用分组求和的方法即可求其前n项和． 【小问1详解】 ∵，且，∴， ∵，∴，∴得，则， ∵当时，，得，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由(1)知：，即． ∴ ． 16. 已知函数()，点A是图像上一个最高点，B、C为图像的两个对称中心，面积的最小值为． （1）求的值； （2）在区间上有20个极值点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知由题意可知：，进而结合面积关系运算求解； （2）由（1）可知：，以为整体，结合正弦函数的性质列式求解. 【小问1详解】 因为，则的最小正周期， 由题意可知：， 可得面积的最小值，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为，则， 又因为在区间上有20个极值点，则， 解得，所以实数m的取值范围是. 17. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若在区间内恒成立，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，进而可得最值； （2）将不等式恒成立转化为求函数的最大值问题，可得参数取值范围. 【小问1详解】 由，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 当时，有最小值，最小值为. 【小问2详解】 函数，， 则， 当时，，在上单调递减， 此时存在，使得，与题设矛盾， 当时，时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使在恒成立， 则，即， 又由（1）知即，（当且仅当时，等号成立）． 令有，故且， 所以． 18. 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，. （1）若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表： n 1 2 3 4 5 y 76 56 42 30 26 求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1） （2）若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：. 附：经验回归方程系数：，，，. 【答案】（1）；3. （2）分布列见解析；. （3）；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值； （2）确定X的取值可能为，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望; （3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知 , 故， 所以 ， 所以线性回归方程为： ， 所以，估计时，. 【小问2详解】 由题意知：，，，， 则X的取值可能为， 记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B， 所以 ， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 所以数学期望. 【小问3详解】 证明：因为每一列至少一个红球概率为 , 记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以， 记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以， 显然， ，所以 ， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论. 19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. （1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； （2）证明：直线在曲面上； （3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，可得坐标平面的方程；当时，可得平面截曲面所得交线的方程，进而可得曲线类型； （2）设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可. （3）设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出答案. 【小问1详解】 根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为， 当时，平面截曲面所得交线上的点满足， 即， 也即在平面上到原点距离为定值1， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆. 【小问2详解】 设是直线上任意一点， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， 于是， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. 【小问3详解】 直线在曲面上，且过点， 设是直线上任意一点，直线的方向向量为， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， ∵在曲面上，∴， 整理得， 由题意，对任意的，有恒成立， ∴，且， ∴，或， 不妨取，则，或， ∴，或， 又直线的方向向量为， 则异面直线与所成角的余弦值均为 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试卷 数学 命题人：黄燕 审题人：陈宇峰 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要目要求的. 1. 已知非空集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 5. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 10. 已知三棱锥是边长为2的正三角形，分别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（ ） A. 两两垂直 B. 在平面的投影为的中点 C. 三点共线 D. 形如三棱锥容器能被整体装入一个直径为2.5的球 11. 甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第次答题者是甲的概率为，第次回答问题结束后甲的得分为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本小题共3小题，小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上，且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为______． 14. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 已知正项数列的前项积为，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数()，点A是图像上的一个最高点，B、C为图像的两个对称中心，面积的最小值为． （1）求的值； （2）在区间上有20个极值点，求实数m取值范围． 17. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若在区间内恒成立，求实数的值. 18. 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，. （1）若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”轮数，统计数据如表： n 1 2 3 4 5 y 76 56 42 30 26 求y关于n回归方程，并预测时，y的值；（精确到1） （2）若，，，，记在每列都有白球条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：. 附：经验回归方程系数：，，，. 19. 在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. （1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； （2）证明：直线在曲面上； （3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$