10.3整式的加减（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版2024）

10.3 整式的加减 知识点一 整式的加减 ★1. 整式相加减的方法 几个整式相加减，有括号的按照去括号的方法去括号，再合并同类项，就可以得到这几个整式相加减的运算结果。 知识点二 去括号法则 ★1. 法则 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号,括号里的各项不变号. 例如 括号前面是“-”号去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号.例如 知识点三 添括号法则 ★1. 法则 所添括号前面是“+”号时，括到括号里的各项都不改变符号; 所添括号前面是“－”号时,括到括号里的各项都改变符号. 添括号是与去括号互逆的过程 注意： ①整式的加减的最后结果结果要最简,即结果中不能含有同类项,不再出现括号;②一般按照某一字母的降幂或升幂排列;③含字母项的系数不能出现带分数，带分数要转化为假分数. 知识点四 n次整式 （1） 若>，，为正整数，则一个次整式与一个次整式的和是一个次整式。 （2） 若，为正整数，两个次整式的和是一个次整式，则。 题型一 添括号与去括号 解题技巧提炼 1.去括号技巧： 去括号法则可以简单地记为“正不变，负全变”其中正、负是指括号前面的符号. 2.添括号,分两步： 第1步:明确给哪几项添括号以及括号前面是“十”号还是“-”号. 第2步:若是“十”号,则直接添括号;若是“-”号,则括号内的各项都要变号. 1．去括号或添括号． （1）　 　； （2）　 　； （3）　 　； （4）　 　． 2．去括号：． 3. 按下列要求，给多项式添括号： （1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （2）把多项式的前两项括起来，括号前面有“”号； （3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （4）把多项式中间的两项括起来，括号前面有“”号． 题型二 多重符号的整式化简与求值 解题技巧提炼 整式的化简求值 (1)直接代入法:当已知整式中字母的值时,可以直接把字母的值代入化简的整式中，注意化简整式时去括号的顺序. (2)整体代入法:当题目中的几个字母存在某种关系且不易求出各个字母的值时，可考虑把它们看成一个整体，代入化简的整式中! 1．（2023秋•闵行区校级期中）计算：． 2．（2022秋•静安区月考）先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中 题型三 整式的加减的逆用 解题技巧提炼 三个技巧：①求被减式，用加法；②求减式，用减法；③求加式，用减法. 1．一个多项式与的和是，则这个多项式为　　 A． B． C． D． 2．一个多项式加上的和是，求这个多项式． 3．一个多项式减去的差是，求这个多项式． 题型四 整式的加减不含某项或无关问题 解题技巧提炼 不含某项或无关问题，说明整式中不含该项，也就说明该项的系数为0. 1．已知关于、的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为　　． 2．（2022秋•静安区月考）已知：，，若不含有的项，求：的值． 3．整式、，与的乘积中不含有和项． （1）试确定和的值； （2）求． 4．若代数式的值与字母的取值无关，求代数式 的值． 5．已知，，且的值与无关，求值． 6．已知，，．求证：的值与、无关． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/31 0:02:17；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 题型五 多个整式和差倍问题 解题技巧提炼 和差倍问题可以根据题目特征选择直接代入法或整体代入法.特别注意当题目中的几个字母存在某种关系且不易求出各个字母的值时，可考虑把它们看成一个整体，代入化简的整式中. 1．已知，，求，并按的降幂排列． 2．（2023秋•松江区月考）已知，，求． 3．（2023秋•闵行区校级月考）已知，，求多项式，使． 4．（2023秋•闵行区校级期中）已知：，． （1）计算：； （2）当，时，求的值． 5．已知，，求． 6．（2022秋•青浦区校级期中）已知：，且，求． 7．（2022秋•闵行区校级期中）已知：整式，，且整式，试求出整式，并计算当，时的值． 8．（2022秋•青浦区校级期中）已知：，且，求． 题型六 整式比大小问题 解题技巧提炼 用作差法比较与的大小． 当时，则；当时，则；当时，则． 1．在学习过程中，我们要善于归纳总结和反思． 根据所学知识，反思和解决问题： 【知识呈现】 ；；；；． 【知识总结】 当被减数大于减数时，差大于0，即大减小差为正；当被减数等于减数时，差等于0； 当被减数小于减数时，差 　　0，即小减大差为负． 【知识反思】 如何用上述结论比较两个有理数与的大小 　　． 【知识应用】 运用上面反思得到的方法解答： 设，，比较与的大小关系． 2．若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D． 3．已知，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．以上都有可能 4．如果，，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 题型七 整式的加减的应用 解题技巧提炼 整式加减的三点注意 (1)去括号时,注意括号内的项是否需要变号.(2)利用乘法分配律时,不要忽略括号外因数的符号.(3)按降幂或升幂排列时,注意将项带着符号移动. 1．如果和互为相反数，那么多项式的值是　　 A．29 B．11 C．0 D．9 2．如果与的和仍然是单项式，那么的值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 3．单项式与的和仍是单项式，则　　． 4．下列整式的加减，结果是单项式的是　　 A． B． C． D． 5．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•静安区校级期中）小杰准备完成题目：化简■，发现系数“■”印刷不清楚． （1）他把“■”猜成3，请你化简； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 7．在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 　　． 8．两个四次整式的和的次数是　　 A．不高于四次 B．不低于四次 C．四次 D．八次 9．若、都是三次四项整式，那么它们的和的次数一定是　　 A．六次 B．三次 C．不超过三次 D．以上都不对 题型八 整式加减的实际应用 解题技巧提炼 整式加减的实际应用把整式加减应用到实际问题中时，关键是审清题意,根据等量关系列出整式. 1．大客车上原有人，中途一半人下车，又上车若干人，这时车上共有乘客人，问上车乘客是多少人（用含、的代数式表示）？当，时，上车乘客是多少人？ 2．（2022秋•淇滨区校级期中）某移动电话公司给用户提供了各种手机资费套餐，其中两个如表所示： 套餐使用费 （元月） 套餐内包含国内主叫通话时长（分 套餐外国内主叫通话单价 （元 国内被叫 套餐内包含国内数据流量 套餐外国内数据流量单价 （元 19 0 0.1 免费 30 5 39 100 0.1 免费 55 5 （1）如果某用户某月国内主叫通话总时长为分，使用国内数据流量为 （字节），请分别写出两种套餐收费方式下该用户应该支付的费用（假定，． （2）如果某用户某月国内主叫通话总时长为120分，使用国内数据流量，通过计算说明上述两种套餐中他选哪一种较为合算． 3．某食品厂打折后出售食品，第一天卖出千克，第二天卖出的比第一天的2倍还多3.7千克，第三天卖出的比第一天的3倍少2千克． （1）用含的代数式表示这个食品厂三天共卖出食品的数量； （2）当时，则这个食品厂三天共卖出食品多少千克？ 题型九 定义新运算 解题技巧提炼 解决定义新运算问题时，我们要围绕理解新运算的定义、掌握其基本性质和规则，以及灵活运用这些规则来解决问题. 1．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． （1）填空：34、48的“翠屏数”分别是 　 　、　　； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）若一个两位数为，它的个位数字记为，十位数字记为，与它“翠屏数”之和与11的商记为，若，直接写出符合条件的的值． 2．对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称与互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为（A），例如当时，． （1）　　，　　； （2）求的值； （3）对于任意三位数，其百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，满足：，求（A）的值． 3．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习正整数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”． 定义：对于正整数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个正整数为“纯数”．例如，32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是不是“纯数”，请说明理由； （2）在不大于100的所有正整数中，“纯数”的个数是 　　个（直接写出答案）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 整式的加减 知识点一 整式的加减 ★1. 整式相加减的方法 几个整式相加减，有括号的按照去括号的方法去括号，再合并同类项，就可以得到这几个整式相加减的运算结果。 知识点二 去括号法则 ★1. 法则 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号,括号里的各项不变号. 例如 括号前面是“-”号去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号.例如 知识点三 添括号法则 ★1. 法则 所添括号前面是“+”号时，括到括号里的各项都不改变符号; 所添括号前面是“－”号时,括到括号里的各项都改变符号. 添括号是与去括号互逆的过程 注意： ①整式的加减的最后结果结果要最简,即结果中不能含有同类项,不再出现括号;②一般按照某一字母的降幂或升幂排列;③含字母项的系数不能出现带分数，带分数要转化为假分数. 知识点四 n次整式 （1） 若>，，为正整数，则一个次整式与一个次整式的和是一个次整式。 （2） 若，为正整数，两个次整式的和是一个次整式，则。 题型一 添括号与去括号 解题技巧提炼 1.去括号技巧： 去括号法则可以简单地记为“正不变，负全变”其中正、负是指括号前面的符号. 2.添括号,分两步： 第1步:明确给哪几项添括号以及括号前面是“十”号还是“-”号. 第2步:若是“十”号,则直接添括号;若是“-”号,则括号内的各项都要变号. 1．去括号或添括号． （1）　 　； （2）　 　； （3）　 　； （4）　 　． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】根据去括号和添根号法则分别进行解答即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，． 【点评】本题主要考查了去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则． 2．去括号：． 【答案】． 【分析】直接利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而判断得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了去括号法则，正确去括号是解题关键． 3. 按下列要求，给多项式添括号： （1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （2）把多项式的前两项括起来，括号前面有“”号； （3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （4）把多项式中间的两项括起来，括号前面有“”号． 【分析】根据添括号的法则把给出的式子按要求进行变形，即可得出答案． 【解答】解：（1）多项式后三项括起来，括号前面带有“”号是； （2）多项式的前两项括起来，括号前面带“”号是：； （3）多项式后三项括起来，括号前面带有“”号是：； （4）多项式中间的两项括起来，括号前面“”号是． 【点评】本题考查了添括号的法则，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 题型二 多重符号的整式化简与求值 解题技巧提炼 整式的化简求值 (1)直接代入法:当已知整式中字母的值时,可以直接把字母的值代入化简的整式中，注意化简整式时去括号的顺序. (2)整体代入法:当题目中的几个字母存在某种关系且不易求出各个字母的值时，可考虑把它们看成一个整体，代入化简的整式中! 1．（2023秋•闵行区校级期中）计算：． 【答案】． 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查整式混合运算法则，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． 2．（2022秋•静安区月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】此题应先对整式去括号，然后再合并同类项，化简后再把、的值代入即可求得结果． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 【点评】本题考查了整式的化简求值，应先对整式进行化简，然后再代入求值，解题的关键是注意整式的混合运算顺序． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】先化简整式，再根据绝对值的意义、乘法法则确定、的值，最后代入求值． 【解答】解： ． 其中， ，． 当，时， 原式 ． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则、绝对值的意义、有理数的混合运算是解决本题的关键． 4．先化简，再求值：，其中 【答案】． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， 当，时，原式 【点评】多重括号，一般遵循从里到外的顺序，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号;每去一次括号若有同类项，宜先合并同类项. 题型三 整式的加减的逆用 解题技巧提炼 三个技巧：①求被减式，用加法；②求减式，用减法；③求加式，用减法. 1．一个多项式与的和是，则这个多项式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意可得被减式为，减式为，根据差被减式减式可得出这个多项式． 【解答】解：由题意得：这个多项式， ， ． 故选：． 【点评】本题考查整式的加减，难度不大，注意在合并同类项时要细心． 2．一个多项式加上的和是，求这个多项式． 【答案】． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：该多项式为： ． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 3．一个多项式减去的差是，求这个多项式． 【答案】． 【分析】用差加减式即得被减式，再去括号合并同类项即得答案． 【解答】解：根据题意得这个多项式是： ， 答：这个多项式是． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 题型四 整式的加减不含某项或无关问题 解题技巧提炼 不含某项或无关问题，说明整式中不含该项，也就说明该项的系数为0. 1．已知关于、的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为　　． 【分析】直接将两多项式相减进而合并同类项即可得出的值，即可得出答案． 【解答】解：两个多项式与的差中不含项， ， 则， 解得：， 故． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 2．（2022秋•静安区月考）已知：，，若不含有的项，求：的值． 【答案】8． 【分析】直接利用整式的加减运算法则合并同类项，进而得出，的值，即可得出答案． 【解答】解：，，不含有的项， ， 则，， 解得：，， ． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 3．整式、，与的乘积中不含有和项． （1）试确定和的值； （2）求． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值； （2）利用（2）中所求，进而代入得出答案． 【解答】解：（1） ， 多项式、，与的乘积中不含有和项， ，， 解得：，； （2）由（1）得： ． 【点评】此题主要考查了整式的加减以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．若代数式的值与字母的取值无关，求代数式 的值． 【分析】本题式子与字母无关，将原式化简提出，则含的项为0，由此可得与的关系，再将原代数式化简，代入与的关系式即可． 【解答】解： ， ， ． 【点评】本题考查了整式的化简与二元一次方程的解．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 5．已知，，且的值与无关，求值． 【分析】把与代入中，去括号合并得到结果，由结果与取值无关求出的值即可． 【解答】解：，， ， 由结果与无关，得到， 解得：． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．已知，，．求证：的值与、无关． 【分析】此题只要把，，的值正确代入计算即可证明．注意合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解： ． 故的值与，无关． 【点评】此题考查了整式的加减运算．注意与某字母的值无关，则是式子中不含该字母． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/31 0:02:17；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 题型五 多个整式和差倍问题 解题技巧提炼 和差倍问题可以根据题目特征选择直接代入法或整体代入法.特别注意当题目中的几个字母存在某种关系且不易求出各个字母的值时，可考虑把它们看成一个整体，代入化简的整式中. 1．已知，，求，并按的降幂排列． 【答案】，按降幂排列为：． 【分析】把，代入即可得到答案，再按的降幂排列即可． 【解答】解：，， ， 按降幂排列为：． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则，并能按一个字母降（升幂排列． 2．（2023秋•松江区月考）已知，，求． 【答案】． 【分析】根据题意得到，然后利用整式的加减混合运算法则求解即可． 【解答】解：，， ． 【点评】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 3．（2023秋•闵行区校级月考）已知，，求多项式，使． 【分析】把，代入中，去括号合并确定出即可； 【解答】解：， ． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2023秋•闵行区校级期中）已知：，． （1）计算：； （2）当，时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）直接代入，去括号再合并同类项即可； （2）把两个值代入化简后的式子中求值即可． 【解答】解：（1） ； （2）当，时， ． 【点评】本题考查了整式的加减，进行运算时注意符号与数字不要出错． 5．已知，，求． 【分析】先将原式去括号、合并同类项化简，继而将与代表的代数式代入计算可得． 【解答】解： ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题主要考查整式的加减化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 6．（2022秋•青浦区校级期中）已知：，且，求． 【答案】． 【分析】根据，且，可以计算出的值． 【解答】解：，且， ． 【点评】本题考查整式的加减．进行整式加减运算时，有括号的先去括号，然后合并同类项．合并同类项时注意：连同前面的符号一起进行运算． 7．（2022秋•闵行区校级期中）已知：整式，，且整式，试求出整式，并计算当，时的值． 【答案】，． 【分析】先将，代入，去括号合并同类项求出整式，再将，代入即可求出的值． 【解答】解：，， ． 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．也考查了代数式求值． 8．（2022秋•青浦区校级期中）已知：，且，求． 【答案】． 【分析】根据，，可以得到，然后去括号，合并同类项即可． 【解答】解：，， ． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 题型六 整式比大小问题 解题技巧提炼 用作差法比较与的大小． 当时，则；当时，则；当时，则． 1．在学习过程中，我们要善于归纳总结和反思． 根据所学知识，反思和解决问题： 【知识呈现】 ；；；；． 【知识总结】 当被减数大于减数时，差大于0，即大减小差为正；当被减数等于减数时，差等于0； 当被减数小于减数时，差 　　0，即小减大差为负． 【知识反思】 如何用上述结论比较两个有理数与的大小 　　． 【知识应用】 运用上面反思得到的方法解答： 设，，比较与的大小关系． 【答案】知识总结；知识反思当时，则；当时，则；当时，则；知识应用． 【分析】知识总结根据做差法比较有理数大小的方法比较即可； 知识反思根据做差法比较有理数大小的方法比较即可； 知识应用根据做差法比较有理数大小的方法比较即可． 【解答】解：知识总结 当被减数小于减数时，差，即小减大差为负． 故答案为：； 知识反思 用作差法比较与的大小． 当时，则；当时，则；当时，则． 故答案为：当时，则；当时，则；当时，则． 知识应用 ， ，即， ． 【点评】本题考查了整式的加减运算的应用，根据作差法比较有理数的大小即可求解． 2．若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出与的差，根据完全平方的非负性即可解决． 【解答】解： ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查整式的加减及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 3．已知，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】 【分析】首先计算，求出差，再分析差的正负性． 【解答】解： ， 所以． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 4．如果，，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算进而得出答案． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 题型七 整式的加减的应用 解题技巧提炼 整式加减的三点注意 (1)去括号时,注意括号内的项是否需要变号.(2)利用乘法分配律时,不要忽略括号外因数的符号.(3)按降幂或升幂排列时,注意将项带着符号移动. 1．如果和互为相反数，那么多项式的值是　　 A．29 B．11 C．0 D．9 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数和为0，可得，再进行整式的加减，再利用整体思想代入值即可求解． 【解答】解：和互为相反数， ， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查了整式的加减化简求值，解决本题的关键是先进行整式的加减运算，再代入值． 2．如果与的和仍然是单项式，那么的值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】根据同类项的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：和是同类项， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型． 3．单项式与的和仍是单项式，则　　． 【答案】． 【分析】根据题意可得单项式与是同类项，根据相同字母的指数相同求出和的值，即可求解． 【解答】解：单项式与的和仍是单项式， 与是同类项， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是整式的加减，合并同类项，熟知同类项的概念是解题的关键． 4．下列整式的加减，结果是单项式的是　　 A． B． C． D． 【分析】将每个选项中的式子先去括号，再合并同类项化为最简，然后判断即可． 【解答】解：、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，符合题意； 、原式，不符合题意． 故选：． 【点评】考查了整式的加减，单项式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 5．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意得出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可． 【解答】解：由题意得，被墨汁遮住的一项 ． 故选：． 【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键． 6．（2022秋•静安区校级期中）小杰准备完成题目：化简■，发现系数“■”印刷不清楚． （1）他把“■”猜成3，请你化简； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【答案】（1）； （2）原题中的“■”是4． 【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得； （2）设“■”是，将看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出的值． 【解答】解：（1） ； （2）设“■”是， 则原式 ， 标准答案的结果是常数， ， 解得， 故原题中的“■”是4． 【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 7．在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 　　． 【答案】． 【分析】先列出算式求出手遮住的代数式，再代入计算即可． 【解答】解：由题意知，手遮住的代数式为 ， 当时，原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 8．两个四次整式的和的次数是　　 A．不高于四次 B．不低于四次 C．四次 D．八次 【答案】 【分析】由于两个四次多项式的和，那么它们每一个多项式的次数都是四次，从而可以确定和的次数． 【解答】解：两个四次多项式它们每一个多项式的次数都是四次， 它们和的次数为不会高于四次． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的加减，解题的关键是利用了多项式的次数的定义解决问题． 9．若、都是三次四项整式，那么它们的和的次数一定是　　 A．六次 B．三次 C．不超过三次 D．以上都不对 【答案】 【分析】根据合并同类项的法则，两个多项式相加后，多项式的次数一定不会升高，但当最高次数项的系数互为相反数，相加后最高次数项就会消失，次数就低于3． 【解答】解：若两个三次四项式中，三次项的系数不互为相反数，它们的和就会是三次多项式或单项式， 若两个三次四项式中，三次项的系数互为相反数，它们的和就会变为低于三次的整式， 故选：． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 题型八 整式加减的实际应用 解题技巧提炼 整式加减的实际应用把整式加减应用到实际问题中时，关键是审清题意,根据等量关系列出整式. 1．大客车上原有人，中途一半人下车，又上车若干人，这时车上共有乘客人，问上车乘客是多少人（用含、的代数式表示）？当，时，上车乘客是多少人？ 【分析】根据题意列出代数式即可． 【解答】解：设上车乘客是人． 将，代入其中得 答：上车乘客是29人． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 2．（2022秋•淇滨区校级期中）某移动电话公司给用户提供了各种手机资费套餐，其中两个如表所示： 套餐使用费 （元月） 套餐内包含国内主叫通话时长（分 套餐外国内主叫通话单价 （元 国内被叫 套餐内包含国内数据流量 套餐外国内数据流量单价 （元 19 0 0.1 免费 30 5 39 100 0.1 免费 55 5 （1）如果某用户某月国内主叫通话总时长为分，使用国内数据流量为 （字节），请分别写出两种套餐收费方式下该用户应该支付的费用（假定，． （2）如果某用户某月国内主叫通话总时长为120分，使用国内数据流量，通过计算说明上述两种套餐中他选哪一种较为合算． 【答案】（1）19元套餐收费（元；39元套餐收费（元； （2）39元套餐较为合算． 【分析】（1）根据费用等于使用费加上通话费与数据流量费用，结合表格数据分别列出代数式，即可求解； （2）将，代入（1）中数据进行计算即可求解． 【解答】解：（1）， 元套餐收费方式下该用户应该支付的费用为：（元，39元套餐收费方式下该用户应该支付的费用为：（元， 元套餐（元；39元套餐收费（元 （2）当，时，（元（元 ， 元套餐较为合算． 【点评】本题考查了整式加减的应用，代数式求值，根据题意列出代数式是解题的关键． 3．某食品厂打折后出售食品，第一天卖出千克，第二天卖出的比第一天的2倍还多3.7千克，第三天卖出的比第一天的3倍少2千克． （1）用含的代数式表示这个食品厂三天共卖出食品的数量； （2）当时，则这个食品厂三天共卖出食品多少千克？ 【答案】（1）这个食品厂三天一共卖出食品为千克； （2）当时，则这个食品厂三天共卖出食品61.7千克． 【分析】（1）由题意，第二天卖出千克，第三天卖出千克，由此即可得出答案； （2）把代入（1）的式子中，求出值即可． 【解答】解：（1）由题意得：第二天卖出千克，第三天卖出千克， （千克）． 这个食品厂三天一共卖出食品为千克； （2）当时， ． 答：当时，则这个食品厂三天共卖出食品61.7千克． 【点评】本题考查了整式加减的应用，属于基础题，难度不大，关键是正确表示出每天卖出的量． 题型九 定义新运算 解题技巧提炼 解决定义新运算问题时，我们要围绕理解新运算的定义、掌握其基本性质和规则，以及灵活运用这些规则来解决问题. 1．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． （1）填空：34、48的“翠屏数”分别是 　43　、　　； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）若一个两位数为，它的个位数字记为，十位数字记为，与它“翠屏数”之和与11的商记为，若，直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）43，84； （2）见解答过程； （3）70，80，90，81，91，82，92，93． 【分析】（1）结合“翠屏数”的定义进行求解即可； （2）根据题意列出相应的式子进行求解即可； （3）分别表示出和，再结合条件进行分析即可． 【解答】解：（1）34的“翠屏数”是43； 48的”翠屏数”是84， 故答案为：43，84； （2）设一个两位数的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数是：， 这个两位数的”翠屏数”是：， 这个数与它的“翠屏数”之和为： ， 个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）由题意得：， 则与它“翠屏数”之和为：， ， ， ， 整理得：， ， 当时，或8或9，则或80或90； 当时，或9，则或91； 当时，或9，则或92； 当时，，则； 当时，不存在； 当时，符合条件的的值为：70，80，90，81，91，82，92，93． 【点评】本题主要考查整式的加减，有理数的除法，解答的关键是理解清楚“翠屏数”的含义． 2．对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称与互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为（A），例如当时，． （1）　9　，　　； （2）求的值； （3）对于任意三位数，其百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，满足：，求（A）的值． 【答案】（1）9；15； （2）； （3）． 【分析】（1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据新定义直接列式计算出，，再相减即可； （3）用代数式表示三位数和其“对称数”，再按新定义计算即可． 【解答】解：（1）， ； 故答案为：9；15； （2）， ， ； （3）（A）， ， ，， （A）． 【点评】本题考查新定义运算，列代数式，绝对值，整式的运算，理解新定义是解题的关键． 3．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习正整数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”． 定义：对于正整数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个正整数为“纯数”．例如，32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是不是“纯数”，请说明理由； （2）在不大于100的所有正整数中，“纯数”的个数是 　13　个（直接写出答案）． 【答案】（1）2019不是“纯数”；2020是“纯数”； （2）13． 【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”； （2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决． 【解答】解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”， 理由：当时，，， 个位是，需要进位， 不是“纯数”； 当时，，， 个位是，不需要进位，十位是，不需要进位，百位为，不需要进位，千位为，不需要进位， 是“纯数”； （2）由题意可得， 连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位， 当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个， 当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个， 当这个数是三位自然数时，只能是100， 由上可得，不大于100的“纯数”的个数为， 即不大于100的“纯数”的有13个． 故答案为：13． 【点评】本题考查有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答． 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