9.10整式的乘法（11大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

9.10 整式的乘法 知识点一 单项式与单项式相乘 ★1.法则 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ★2.单项式与单项式相乘的注意事项 (1)应先确定积的符号再计算积的绝对值 (2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变,指数相加”进行计算 (3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏 知识点二 单项式与多项式相乘 ★1.法则 一般地，单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ★2.式子表示 特别提醒 (1) 单项式与多项式相乘,结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项 (2) 计算时要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号 (3) 对于混合运算,应注意运算顺序,有同类项必须合并同类项,从而得到最简结果 知识点三 多项式与多项式相乘 ★1. 法则 一般地，多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. ★2. 式子表示 ★3. 运算顺序 例如,可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘,得,再用单项式与多项式相乘的法则展开即 题型一 计算单项式乘单项式 解题技巧提炼 单项式与单项式相乘的三点注意： (1)积的系数等于各系数的积,要特别注意系数的符号. (2)凡是在单项式里出现过的字母,在它的计算结果中也应全部出现，不能漏掉. (3)若有乘法、乘方混合运算,则应按“先乘方,再乘法”的顺序进行运算. 1．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则，准确计算． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法展开再合并同类项即可． 【详解】解： 4．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】先计算单项式乘单项式，再根据单项式乘多项式运算法则进行运算即可． 本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握幂的运算是关键． 【详解】解： ． 5．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：   【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：原式 ． 7．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解． 【详解】解： 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题技巧提炼 求字母或代数式的值解题方法 先化简再求值,代入求值时，要注意括号的应用，防止出现符号错误.对于多个字母求值问题，往往需要找对应关系，联立方程，解出未知数的值. 8．（22-23八年级上·吉林长春·期中）已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 10．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【分析】 （1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 11．（22-23八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 12．（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 13．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． 14．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 题型三 单项式乘多项式及求值 解题技巧提炼 单项式与多项式相乘的一般步骤如下: 第1步:按顺序把单项式和多项式中的每一项相乘(做到不重不漏，多项式中的每一项都包括其前面的符号)，注意符号变化; 第2步:把所得的积合并同类项，得到的结果化至最简. 15．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，先单项式乘以多项式展开，再进行加减运算，掌握法则“用单项式分别乘以多项式的每一项，将所得的和相加．”是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案：． 16．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么多项式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以单项式； 将两边同时乘，计算即可． 【详解】解：将两边同时乘， ， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以多项式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：原式； 故答案为． 18．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式：“用单项式分别乘以多项式中的每一项，再将它们的积相加”，即可求解． 【详解】解：原式； 故答案为：． 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 20．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先去括号，再合并同类项即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】 根据单项式乘以多项式法则计算，熟练掌握单项式乘以多项式法则：单项式分别乘以多项式的每一项，再将乘积相加，是解题的关键． 【详解】 解：原式． 题型四 单项式乘多项式的应用 解题技巧提炼 先根据图形分别表示出部分的面积，部分面积的和即为总面积,再根据整式乘法公式求出对应关系或值. 22．（23-24七年级下·广西贺州·期中）一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可． 【详解】解：， 即长方体的体积为， 故选：A． 23．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为， 故选． 24．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 25．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式的运算法则． 根据长方形的面积为长宽，即可求解． 【详解】解：长方形的面积 故答案为：． 26．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一个小长方形的长为，宽为b，将6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（无重叠）． (1)用含a、b的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含a、b的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，求图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值． 【答案】(1)， (2)阴影部分的面积为 (3)图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值为 【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键． （1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解； （2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比，用代入，即可求解． 【详解】（1）大长方形的长：， 宽：， 故答案为：，； （2）大长方形面积： ， 故阴影部分的面积： ； （3）当时， ， 故图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值为． 27．（23-24七年级下·陕西西安·期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______．    (2)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示）    (3)如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形中，，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为，中草坪铺设面积为，假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现与，间存在某种数量关系，请计算，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．    【答案】(1) (2)梯形的面积 (3)总共的草坪铺设面积是；之间的关系为：，，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的运算与图形的面积： （1）用二种方式表示出图形面积即可得出结论； （2）由折叠的性质求出的长，从而得出的长，再根据梯形面积公式求解即可； （3）设根据题意得，整理得，再计算梯形面积即可，求出，得，再计算，从而得 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：由折叠得，， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴ （3）解：设设 ∵ ∴ ∴ 整理得， ∴ ， ∴总共的草坪铺设面积为； 之间的关系为：，理由如下： ， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴ 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 解题技巧提炼 利用单项式乘多项式求字母的值，首先根据运算法则求出结果，再利用解方程解出字母的值. 28．（23-24七年级下·陕西西安·期中）若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 29．（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】 根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 30．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 31．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 32．（22-23八年级上·陕西安康·期末）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米 (2)篮球场的面积为420平方米 【分析】本题考查整式的乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可． 【详解】（1）解： (平方米)， 答：安装健身器材的区域面积为平方米． （2）∵，， ∴(平方米)． 答：篮球场的面积为420平方米． 33．（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； 【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形． 设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）将多项式整理为，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知，，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得． 【详解】解：（1） ， ∵其值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵的值与x无关， ∴，即； （3）设，由图可知，， ∴， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 题型六 计算多项式乘多项式 解题技巧提炼 计算多项式乘以多项式时,要正确应用运算法则，避免漏乘项.避免的方法是在合并同类项之前,数一下积的项数，它应该等于两个多项式的项数之积. 34．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）乘积的计算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的运算法则展开，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 35．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 36．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式的积中项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法法则的应用，根据多项式乘以多项式法则可知，相乘后积中的项为，然后再合并同类项即可，解题的关键是确定出的项． 【详解】根据多项式乘以多项式的法则可知，多项式的积中是项的是： ， ， ， 故答案为：． 38．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘多项式，先对等式左边进行变形得，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，解得： 39．（23-24七年级上·上海闵行·期中）解不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的最小整数解，先根据整式的乘法化简，然后根据不等式的性质进行计算即可求解． 【详解】解： 即， ∴， 解得：， ∴最小整数解为 题型七 (x+p) (x+q)型多项式乘法 解题技巧提炼 . 40．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解．根据，、为整数，可得、有组值，分别计算即可得出的值，从而作出判断． 【详解】解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为， 故选：B． 41．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：． 42．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式法则将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值是解本题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选B． 43．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（    ） A．11 B．13 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，找到常数项的所有可能分解结果，即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴的最大值为 故选：A 44．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可． 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/24 14:12:30；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题技巧提炼 不含某项字母的值，实际就是其前面的系数为0，再利用方程解出字母的值. 45．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）要使多项式与的乘积中不出现一次项，那么下列各式正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． ，由题意得，然后作答即可． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积中不出现一次项， ∴， 故选：A． 46．（23-24七年级上·上海松江·期中）若的展开式化简后不含项，则常数a的值是 ． 【答案】 【分析】先运用多项式乘多项式法则展开合并同类项后，根据不含项，即项系数为0，即可作答． 【详解】解：， 因为不含项， 所以， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 47．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）若的乘积中不含和项， ． 【答案】4 【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出，即可求出答案． 【详解】解： ， ∵其结果中不含和项， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 48．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求、的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的不含某项问题．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算是关键． 【详解】解： 乘积展开式中没有二次项，且常数项为20， ， ． 49．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）若的展开式中不含和项，求、得值． 【答案】， 【分析】求多项式乘多项式的展开式为，根据题意可得，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含和项， ∴，， 解得，，． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 50．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）已知二次三项式与的积不含的项，也不含的项，求系数与 【答案】 【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项与一次项系数为0，即可求出与的值． 【详解】解： ∵积不含的项，也不含的项， ∴， ∴解得：． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键． 51．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4． 求： (1)系数与的值； (2)二项式与的积． 【答案】(1)系数的值为，系数的值为 (2) 【分析】（1）先计算，得，再根据关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4，得到关于与的方程，解方程即可得到答案； （2）把与的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4， ， 解得：， 系数的值为，系数的值为； （2）解：由（1）得：系数的值为，系数的值为， 二项式与的积为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． 题型九 多项式乘多项式一一化简求值 解题技巧提炼 先利用多项式乘多项式的运算法则将代数式化简，并将已知的字母的值代入计算结果. 52．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式先化简，再整体代入即可得出答案，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 53．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2025． 54．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【答案】， 【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 55．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可． 【详解】 ， ∵， ∴原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 56．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 57．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型十 多项式乘多项式与图形面积 解题技巧提炼 图形面积问题先将整个图形拆分成部分图形，根据部分图形面积等于整个图形面积，再根据多项式乘多项式的运算法则进行求解. 58．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 【答案】10 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据大长方形的面积及A、B、C三类纸片的面积可进行求解． 【详解】解：长为、宽为的长方形的面积为， 正方形A的面积为，正方形B的面积为，长方形C的面积为， ∴需要A、B类纸片各6张，C类纸片10张； 故答案为10． 59．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式乘法和除法；根据题意找出规律是解决此题的关键． （1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【详解】（1）解：， 用竖式计算如下： 故答案为：； （2）解：．用竖式计算如下， 的商是，余式是， 故答案为：； （3）长方形的周长为：， 长方形的周长为：， ∵长方形的周长是周长的2倍， ， ， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的另一边长为：， ∴长方形的另一边长为：． 60．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得； 故答案：； （2）解：由（1）可知： ，， ， 解得：． 61．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式运算的应用；能表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，由，即可求解； （2）将，代入计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： 长方形的长为：， 长方形的宽为：， 大正方形的长为：， ； （2）解：，， ． 62．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积； （2）当，时，代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ； （2）当，时，原式． 63．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)当，，，时，__________，__________． (2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示） (3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示） 【答案】(1)， (2)， (3)b 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】（1）解：， ， ，，，， ， ； 故答案为：，； （2）解：，， ， ； 故答案为：，； （3）解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 解题技巧提炼 规律性探究问题，先读懂题意，理解数学原理，再根据提示步骤进行计算求值. 64．（23-24七年级上·上海青浦·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分别为1，2，1．若展开得，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，多项式的乘法运算中的规律问题，熟练的利用特值法求解代数式的值是解本题的关键；本题令代入可得答案． 【详解】解：∵ 令， ∴， 即； 故答案为：； 65．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 【答案】，，，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．利用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，求解多项式的乘方即可． 【详解】解 ：由题意知，． ． ． 利用“贾宪三角”可知：． ∵第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， …… ∴可推导一般性规律为：第n个数是． 故答案为：，，，，． 66．（22-23七年级上·上海闵行·周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 【答案】(1) (2)的展开式是二次三项式；的展开式是三次四项式；是n次项式 (3)的系数之和为，证明见解析 【分析】（1）按照完全平方公式，将展开即可； （2）将展开，然后得出是几次几项式即可，按照多项式乘法运算法则将展开，得出这个展开式是几次几项式即可；找出规律推测是几次几项式即可； （3）根据展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，展开式的各项系数之和为，……得出的展开式中各项系数之和即可，设，令，，则，得出，从而证明结论． 【详解】（1）解： ， ∴的展开式为． （2）解：∵， ∴的展开式是二次三项式； ∵ ， ∴的展开式是三次四项式； 由的展开式是二次三项式，的展开式是三次四项式，推测是n次项式． （3）解：的系数之和为，理由如下： ∵展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， 展开式的各项系数之和为， …… ∴展开式的各项系数之和为； 设， 令，， 则， ∴， 即展开式的各项系数之和为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 67．（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为　　． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可； （2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可； （3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：一次项系数为， 故答案为：； （2）解：根据题意，得一次项系数， 解得； （3）解：的一次项系数为， ． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键． 68．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键. （1）根据题意得到规律即可； （2）由即可得到答案； （3）设①，则②，①＋②后即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得， 故答案为： （2）由题意可得， ， ∴ 故答案为： （3）设① 则② ①＋②得， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.10 整式的乘法 知识点一 单项式与单项式相乘 ★1.法则 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ★2.单项式与单项式相乘的注意事项 (1)应先确定积的符号再计算积的绝对值 (2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变,指数相加”进行计算 (3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏 知识点二 单项式与多项式相乘 ★1.法则 一般地，单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ★2.式子表示 特别提醒 (1) 单项式与多项式相乘,结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项 (2) 计算时要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号 (3) 对于混合运算,应注意运算顺序,有同类项必须合并同类项,从而得到最简结果 知识点三 多项式与多项式相乘 ★1. 法则 一般地，多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. ★2. 式子表示 ★3. 运算顺序 例如,可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘,得,再用单项式与多项式相乘的法则展开即 题型一 计算单项式乘单项式 解题技巧提炼 单项式与单项式相乘的三点注意： (1)积的系数等于各系数的积,要特别注意系数的符号. (2)凡是在单项式里出现过的字母,在它的计算结果中也应全部出现，不能漏掉. (3)若有乘法、乘方混合运算,则应按“先乘方,再乘法”的顺序进行运算. 1．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 2．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： ． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 4． （23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 5． （23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：   6． （23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 7．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 解题技巧提炼 求字母或代数式的值解题方法 先化简再求值,代入求值时，要注意括号的应用，防止出现符号错误.对于多个字母求值问题，往往需要找对应关系，联立方程，解出未知数的值. 8．（22-23八年级上·吉林长春·期中）已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 10．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 11．（22-23八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 12．（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：，其中，． 13．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）先化简，再求值，其中． 14．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 题型三 单项式乘多项式及求值 解题技巧提炼 单项式与多项式相乘的一般步骤如下: 第1步:按顺序把单项式和多项式中的每一项相乘(做到不重不漏，多项式中的每一项都包括其前面的符号)，注意符号变化; 第2步:把所得的积合并同类项，得到的结果化至最简. 15．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 16．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么多项式等于 ． 17．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 18．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 20．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 题型四 单项式乘多项式的应用 解题技巧提炼 先根据图形分别表示出部分的面积，部分面积的和即为总面积,再根据整式乘法公式求出对应关系或值. 22．（23-24七年级下·广西贺州·期中）一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 25．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 26．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一个小长方形的长为，宽为b，将6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（无重叠）． (1)用含a、b的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含a、b的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，求图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值． 27．（23-24七年级下·陕西西安·期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______．    (2)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示）    (3)如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形中，，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为，中草坪铺设面积为，假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现与，间存在某种数量关系，请计算，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．    题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 解题技巧提炼 利用单项式乘多项式求字母的值，首先根据运算法则求出结果，再利用解方程解出字母的值. 28．（23-24七年级下·陕西西安·期中）若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 29．（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 30．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 31．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 32．（22-23八年级上·陕西安康·期末）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 33．（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； 【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形． 设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 题型六 计算多项式乘多项式 解题技巧提炼 计算多项式乘以多项式时,要正确应用运算法则，避免漏乘项.避免的方法是在合并同类项之前,数一下积的项数，它应该等于两个多项式的项数之积. 34．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）乘积的计算结果是 ． 35．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 36．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么 ． 37．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式的积中项的系数是 ． 38．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 39．（23-24七年级上·上海闵行·期中）解不等式：，并求出最小整数解． 题型七 (x+p) (x+q)型多项式乘法 解题技巧提炼 . 40．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 41．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 42．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 43．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（    ） A．11 B．13 C．8 D．7 44．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/24 14:12:30；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解题技巧提炼 不含某项字母的值，实际就是其前面的系数为0，再利用方程解出字母的值. 45．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）要使多项式与的乘积中不出现一次项，那么下列各式正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 46．（23-24七年级上·上海松江·期中）若的展开式化简后不含项，则常数a的值是 ． 47．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）若的乘积中不含和项， ． 48．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求、的值． 49．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）若的展开式中不含和项，求、得值． 50．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）已知二次三项式与的积不含的项，也不含的项，求系数与 51．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知关于的一次二项式与的积不含二次项，一次项的系数是4． 求： (1)系数与的值； (2)二项式与的积． 题型九 多项式乘多项式一一化简求值 解题技巧提炼 先利用多项式乘多项式的运算法则将代数式化简，并将已知的字母的值代入计算结果. 52．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 53．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 54．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 55．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 56．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 57．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 题型十 多项式乘多项式与图形面积 解题技巧提炼 图形面积问题先将整个图形拆分成部分图形，根据部分图形面积等于整个图形面积，再根据多项式乘多项式的运算法则进行求解. 58．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 59．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 60．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 61．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 62．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 63．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)当，，，时，__________，__________． (2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示） (3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示） 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 解题技巧提炼 规律性探究问题，先读懂题意，理解数学原理，再根据提示步骤进行计算求值. 64．（23-24七年级上·上海青浦·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分别为1，2，1．若展开得，那么的值为 ． 65．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 66．（22-23七年级上·上海闵行·周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则叫做的展开式，叫做的展开式． (1)计算的展开式； (2)请指出是几次几项式，并计算的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 67．（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为　　． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，求的值． 68．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$