第二讲 集合的表示和分类 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第二讲 集合的表示和分类 知识点梳理： 1．数学中常用数集及记法 （1）正整数集N*，这里“*”的含义是在自然数集N中去掉0，在一些拓展题中有时候还会遇到Z*，“Z*”表示非0整数集，即在整数集Z中去掉0． （2）以后的学习中还会遇到其他数集，如复数集C等． 2．集合的表示 （1）自然语言 用自然语言描述，如所有等腰三角形，再如所有大于10小于100的偶数，又如函数的图象上所有的点等． （2）列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 例如，小于5的自然数组成的集合为用列举法可以表示为{0，1，2，3，4}． 【特别提醒】列举法表示的集合的结构： （3）描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法． 有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P（x）}或{x∈A；P（x）}． 例如，小于5的自然数组成的集合为用描述法可以表示为． 其中为代表元素，为代表元素的共同特征． 小于5的自然数组成的集合为用描述法也可以表示为． 若无歧义，“∈A”可以省略不写，如，若通过上下文，是明确的，则可以省略“”，只写代表元素．如不等式的解集可以表示为． 【特别提醒】描述法表示的集合的结构： 重难点解析： 1．数学中常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2．集合的表示 （1）列举法 （2）描述法 （3）自然语言 3．集合的分类 （1）有限集——含有有限个元素的集合 （2）无限集——含有无限个元素的集合 例题讲解： 题型1 常用数集的符号表示 【例1】下列关系正确的是　　 A． B． C． D． 【例2】下列选项正确的是　　 A． B． C． D． 【例3】实数集可以用字母________表示．　　 A． B． C． D． 题型2 列举法 【例4】集合，用列举法表示为　　 A．，，0，1， B．，0，1， C．， D． 【例5】集合用列举法表示为　　 A． B．， C．，2， D．，2，4， 【例6】若集合有且只有一个元素． （1）试求出实数的值； （2）用列举法表示集合． 题型3 描述法 【例7】集合，，，，用描述法可表示为　　 A．， B．， C．， D．， 【例8】被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 　　． 【例9】用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式的解集； （3）方程的所有实数解组成的集合； （4）抛物线上所有点组成的集合； （5）集合，3，5，7，． 题型4 集合的分类 【例10】判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．（1）北京各区的名称； （2）尾数是5的自然数； （3）我们班身高大于的同学． 【例11】判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由： （1）6的正整数倍的全体组成的集合； （2）600的正约数的全体组成的集合； （3）2023年在上海出生的所有人组成的集合； （4）给定的一条长度为1的线段上的所有点组成的集合． 【例12】判断下列集合是有限集还是无限集： （1），； （2），； （3），为平面上两个不同的定点，为动点）． 解题梳理： 1．列举法 （1）列举法表示的集合的种类 ①元素个数少且有限时，全部列举：如1，2，3，4． ②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1，2，3，．．．，1 000}． ③元素个数无限但有规律时，如自然数集N可以表示为0，1，2，3，4… （2）使用列举法表示集合时需注意 ①元素之间用“，”而不用“、"隔开； ②元素不重复，满足元素的互异性； ③元素无顺序，满足元素的无序性； ④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法．但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号． 2．描述法 （1）描述法的一般形式 描述法的一般形式是，其中“x”是集合中元素的代表形式．例如用描述法表示方程的实数根为．如果从上下文的关系来看，是明确的，那么也可省略，只写其元素x．例如集合也可表示为． （2）描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法． （3）使用描述法时应注意以下几点 ①写清楚该集合的代表元素，如数或点等； ②说明该集合中元素的共同属性； ③不能出现未被说明的字母； ④所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确． 变式练习： 1．（2023秋•海淀区期末）方程组的解集是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2023秋•香坊区期末）已知集合，0，1，，集合，，则集合　　 A．， B．， C．，1， D．，0， 3．（2022秋•三门峡期末）集合用列举法表示是　　 A．，2， B．，2，3， C．，1，2，3， D．，1，2， 4．（2023秋•富阳区校级期中）集合，2，3，4，也可表示成　　 A． B． C．， D．， 5．（2023秋•鸡西期中）方程组的解集是　　 A．， B．， C． D．或 6．（2024•荔湾区校级模拟）若集合，1，4，，，，则中元素的最小值为　　 A． B． C． D．32 7．（2023秋•海南期中）已知集合，，则　　 A．， B．，2， C．，1，2， D．，1， 8．（2023秋•黄平县校级月考）方程的解集用列举法表示为　　 A． B．， C． D． 9．（2023秋•东莞市校级期中）集合，　　 A．， B．， C．，1， D．，，0，1， 10．（2023•湘阴县校级开学）用描述法表示函数图象上的所有点的是　　 A． B． C． D． 11．（2024•新乡三模）下列集合中有无数个元素的是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•宝安区校级期末）下列元素与集合的关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•镇海区校级期中）用列举法表示集合的结果为 　　． 14．（2024•丹东模拟）若为完全平方数，则正整数的取值组成的集合为 　　． 15．（2023秋•重庆期末）已知集合，0，，，，那么用列举法表示集合　 　． 16．（2023秋•静安区校级月考）已知，则集合用列举法表示为 　　． 17．（2023•望花区校级开学）集合用列举法表示出来． 18．（2022秋•南城县校级月考）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：，3，，，0.1010010001，，0，，， （1）正数集合：　 　　； （2）无理数集合：　 　　； （3）分数集合：　 　　； （4）非正整数集合：　 　　． 19．（2023•袁州区校级开学）试选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合； （3）一次所数与的图象的交点组成的集合； （4）不等式的解集． 20．用另一种方法表示下列集合： （1），，； （2）{0，1，4，9，16，25，36，49}； （3）{平面直角坐标系中第二象限内的点}． 21．用适当的方法表示下列集合． （1）方程组，的解集； （2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合． 答案与解析 【例1】下列关系正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用数集的定义即可判断出结论． 【解答】解：，，，． 因此只有正确． 故选：． 【例2】下列选项正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用元素与集合间的关系直接求解． 【解答】解：在中，，故错误； 在中，，故错误； 在中，，故错误； 在中，，故正确． 故选：． 【例3】实数集可以用字母________表示．　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据集合的表示，实数集为，整数集为，自然数集为，有理数集为即可求解结论． 【解答】解：根据集合的字母表示可知：实数集为，整数集为，自然数集为，有理数集为． 故选：． 【例4】集合，用列举法表示为　　 A．，，0，1， B．，0，1， C．， D． 【答案】 【分析】直接求出集合中的元素即可． 【解答】解：，，，． 故选：． 【例5】集合用列举法表示为　　 A． B．， C．，2， D．，2，4， 【答案】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可． 【解答】解：因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即，2，4，． 故选：． 【例6】若集合有且只有一个元素． （1）试求出实数的值； （2）用列举法表示集合． 【答案】（1）或， （2），，． 【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，并结合二次函数的判别式，即可求解． （2）根据（1）的结论，分，两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）当时，方程组，只有一个解，符合题意， 当时，要使集合有且只有一个元素， 则方程，△，解得． （2）由（1）可得，或， 当时，原方程组转化为，解得，即，， 当时，原方程组转化为，解得，即，， 综上所述，的集合为，，． 【例7】集合，，，，用描述法可表示为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】集合，，，，中的第项的分线为，分子为，由此能求出结果． 【解答】解：集合，，，，中的第项的分线为，分子为， 集合，，，，用描述法可表示为：，． 故选：． 【例8】被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 　　． 【答案】，． 【分析】利用集合的描述法求解即可． 【解答】解：被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为，． 故答案为：，． 【例9】用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式的解集； （3）方程的所有实数解组成的集合； （4）抛物线上所有点组成的集合； （5）集合，3，5，7，． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）； （5），且． 【分析】根据已知条件，结合集合表示法的定义，即可依次求解． 【解答】解：（1）所有被3整除的整数组成的集合为，； （2）不等式的解集为，； （3）方程的所有实数解组成的集合为，； （4）抛物线上所有点组成的集合为； （5）集合，3，5，7，为，且． 【例10】判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．（1）北京各区的名称； （2）尾数是5的自然数； （3）我们班身高大于的同学． 【答案】（1）可以构成集合，是有限集；（2）可以构成集合，是无限集；（3）可以构成集合，是有限集． 【分析】分别根据集合的性质判断即可． 【解答】解：（1）北京各区的名称可以构成集合，是有限集； （2）尾数是5的自然数可以构成集合，是无限集； （3）我们班身高大于的同学可以构成集合，是有限集． 【例11】判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由： （1）6的正整数倍的全体组成的集合； （2）600的正约数的全体组成的集合； （3）2023年在上海出生的所有人组成的集合； （4）给定的一条长度为1的线段上的所有点组成的集合． 【答案】（1）无限集； （2）有限集； （3）有限集； （4）无限集． 【分析】由已知结合集合的有限集与无限极的定义分别进行判断． 【解答】解：（1）6的正整数倍可表示为，其中是正整数．因为正整数有无限个，所以6的正整数倍的全体组成的集合是一个无限集． （2）600的正约数一定是小于或等于600的正整数，其个数不超过600．所以600的正约数的全体组成的集合是一个有限集． （3）虽然2023年出生在上海的人比较多，但总数还是有限的，所以2023年在上海出生的所有人组成的集合是一个有限集． （4）因为该线段的二等分点、三等分点、四等分点都是该集合中的元素，所以一条给定的长度为1的线段上的所有点组成的集合是一个无限集． 【例12】判断下列集合是有限集还是无限集： （1），； （2），； （3），为平面上两个不同的定点，为动点）． 【答案】（1）有限集； （2）无限集； （3）无限集． 【分析】由已知结合集合的有限集与无限集的定义即可判断． 【解答】解：（1），，，为有限集； （2），为无限集； （3），为平面上两个不同的定点，为动点）， 则的轨迹是一个线段，故集合为无限集． 变式练习： 1．【答案】 【分析】解原方程组得出，的值，然后写出原方程组的解集即可． 【解答】解：解得，或， 原方程组的解集为：，． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据集合，，求解中的元素，可得集合． 【解答】解：集合集合，0，1，，集合，， 因为，， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故集合，0，． 故选：． 3．【答案】 【分析】化简集合，将元素一一列举出来即可． 【解答】解：集合正整数，2，． 故选：． 4．【答案】 【分析】结合集合的表示方法即可求解． 【解答】解：结合题意可知，，2，3，4，，． 故选：． 5．【答案】 【分析】运用加减消元法，求出方程组的解，最后运用集合表示． 【解答】解：方程组， 两式相加得，， 两式相减得，． 方程组的解集为． 故选：． 6．【答案】 【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解． 【解答】解：由题意得，． 故选：． 7．【答案】 【分析】根据集合的定义确定其元素． 【解答】解：，，1，． 故选：． 8．【答案】 【分析】由列举法的表示方法写出解集． 【解答】解：方程，解得或， 解集用列举法表示为，． 故选：． 9．【答案】 【分析】通过解一元一次不等式，结合表示整数集合进行求解即可． 【解答】解：由，可得，又， 所以集合，，1，． 故选：． 10．【答案】 【分析】根据集合描述法定义可解决此题． 【解答】解：根据集合描述法定义可得函数图象上的所有点的集合是， 故选：． 11．【答案】 【分析】由已知结合集合的表示及集合的分类检验各选项即可判断． 【解答】解：，2，，错误； ，2，，错误； ，2，，错误； 为无限集，正确． 故选：． 12．【答案】 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得． 【解答】解：选项，因不是正整数，故错误； 选项，是无理数，故必是实数，故正确； 选项，是分数，故不是整数，故错误； 选项，0是自然数，故错误． 故选：． 13．【答案】，2，3，． 【分析】由集合的元素属于非负整数集计算即可． 【解答】解：集合， 因为，分母不能为0， 可得的结果为3，6，7，8， 所以集合为，2，3，． 故答案为：，2，3，． 14．【答案】，12，． 【分析】根据题意，设，分析可得，结合80的因数分析可取的值，用集合表示即可得答案． 【解答】解：根据题意，若为完全平方数，设，和都为正整数， 若，则，变形可得， 又由，， 则和同时为偶数或奇数， 则可能为情况有：或或， 解可得：或12或9， 则正整数的取值组成的集合为，12，． 故答案为：，12，． 15．【分析】根据集合，3，，，，将中元素一一代入，可得集合． 【解答】解：集合，0，，，， ，， 故答案为：， 16．【答案】，0，． 【分析】由已知对，的正负进行分类讨论求出集合中的元素，即可求解． 【解答】解：因为， 当，时，， 当，时，， 当时，． 故答案为：，0，． 17．【答案】，2，4，． 【分析】由已知结合集合的列举法与描述法的转化即可求解． 【解答】解：因为集合，故为8的正约数， 即的值可以为1，2，4，8， 用列举法表示为，2，4，． 18．【答案】（1）3，0.1010010001，，； （2）； （3），，0.1010010001，，； （4），0，． 【分析】（1）（2）（3）（4）将给定数化简，结合正数、无理数、分数、非正整数的概念写出对应的数． 【解答】解：（1）由题设，各数分别为，3，，，0.1010010001，，0，，，， 所以正数有3，0.1010010001，，； （2）由（1），无理数有； （3）由（1），分数有，，0.1010010001，，； （4）由（1），非正整数有，0，． 19． 【分析】若一个集合的元素为有限个，并能一一列举出来，就选择列举法表示该集合，若集合有无限个元素，并可描述或表示元素的共同特征，便可选择描述法表示该集合，根据这点选适当的方法表示这几个集合即可． 【解答】解：（1）方程的实数根为，3， 列举法表示该集合为：，； （2）小于8的素数为：2，3，5，7， 列举法表示该集合为：，3，5，； （3）解得：，， 列举法表示该集合为：； （4）解不等式得，， 描述法表示该集合为：． 20． 【分析】直接利用集合的表示方法，写出结果即可． 【解答】解：（1），，，，； （2），1，4，9，16，25，36，，，； （3）平面直角坐标系中第二象限内的点，． 21． 【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可． 【解答】解：（1）解方程组，得，故解集为； （2）集合的代表元素是数，用描述法表示为，且． （3）集合的代表元素是点，用描述法表示为且 （4）集合用描述法表示为是三角形，简写为三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$