3.2.2 第2课时 双曲线方程与性质的应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2] 解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0解得－2<k<2. 答案　A 2．已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1， 设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1　①， －＝1　②， 因为x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30， 所以由①②得＝，从而＝1， 又a2＋b2＝c2＝9， 故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1. 答案　B 3．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 解析　因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形， 不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°， 又直线MN过点F(2,0)， 所以直线MN的方程为y＝－(x－2)， 由得 所以M点坐标，所以|OM|＝＝， 所以|MN|＝|OM|＝3，故选B． 答案　B 4．(多选)双曲线的标准方程为x2－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．该曲线两顶点的距离为2 B．该曲线与双曲线y2－＝1有相同的渐近线 C．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1 D．该曲线与直线l：y＝(x－2)有且仅有一个公共点 解析　由已知双曲线中a＝1，b＝，则c＝2，顶点为(1,0)和(－1,0)，距离为2，A错误； 该双曲线的渐近线方程是y＝±x，而双曲线y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，不相同，B错误； 该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为c－a＝1，C正确； 直线l与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且仅有一个公共点，D正确． 故选CD． 答案　CD 5．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________. 解析　由题知双曲线的右焦点为F(2,0)，过点F且与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±x，将x＝2代入y＝±x得，y＝±2，所以|AB|＝4. 答案　4 6．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________． 解析　由 消去y得x2－2mx－m2－2＝0， 所以Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m， 所以线段AB的中点坐标为(m,2m)， 又点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上， 所以5m2＝5，所以m＝±1. 答案　±1 7．设动点M到定点F(3,0)的距离与它到直线l：x＝的距离之比为，则点M的轨迹方程为________． 解析　设点M的坐标为(x，y)， 设点M到直线l的距离为d，由已知得＝，即|MF|＝d， ∵点F(3,0)，直线l的方程为x＝， ∴|MF|＝＝， d＝， ∴＝，整理得－＝1， ∴点M的轨迹方程是－＝1. 答案　－＝1 8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，虚轴长为4. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点(0,1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积． 解析　(1)依题意可得 解得a＝1，b＝2，c＝， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)由题意得直线l的方程为y＝x＋1， 联立消去y得3x2－2x－5＝0， 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－， 则|AB|＝|x1－x2|＝·＝× ＝， 又原点到直线l的距离为d＝， 所以S△OAB＝·|AB|·d＝××＝，所以△OAB的面积为. [关键能力·综合提升] 9．许多建筑融入了数学元素后，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图①是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图②是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20 米，上底直径CD＝20 米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　) A．10米 B．20米 C．10 米 D．10 米 解析　依题意建立如图的坐标系， 由题意可知D(10，20)，B(10，－60)， 设双曲线方程为－＝1， ∴ 解得a2＝100，b2＝400，∴|EF|＝2a＝20，故选B． 答案　B 10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，所以＝.① 又||＝＝4，c2＝a2＋b2， 所以a2＋2b2＝16.② 由①②可得，a2＝4，b2＝6， 所以双曲线C的方程为－＝1. 答案　D 11．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 解析　如图，因为OA＝AF，F点坐标为(c,0)， 所以xA＝，又A在右支上且不在顶点处， 所以＞ a，所以e＝＞2. 答案　(2，＋∞) 12．如图，已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为________． 解析　设双曲线右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形， 点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF， 设AF＝m，BF＝n， 则m－n＝2a，　①m2＋n2＝4c2，　② 由①得m2＋n2－2mn＝4a2， 结合②得mn＝c2－a2＝b2＝9. 答案　9 13．已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)． (1)若a＝，求l与C相交所得的弦长； (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围． 解析　(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1， 联立消去y，得3x2＋2x－2＝0. 设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 于是|AB|＝· ＝× ＝. (2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， 所以 解得0<a<且a≠1. 又双曲线的离心率e＝＝， 所以e>且e≠， 即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)． [核心价值·探索创新] 14．祖暅，是我国南宋时期的数学家．他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点(，2)，则双曲线的方程为________；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为________． 解析　∵双曲线C的离心率e＝＝， ∴c＝a； ∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2， ∵双曲线的方程为－＝1过点(，2)，即－＝1，a2＝3，b2＝1， ∴双曲线方程为－x2＝1， 则渐近线方程为y＝±x， 取直线x＝m(0≤m≤1)， 代入－x2＝1，得y＝， 代入y＝x，得y＝m， ∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝(3＋3m2)π－3m2π＝3π. 又高度为1， 故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 答案　－x2＝1　3π 15．已知双曲线C：－＝1. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求|PA|的最小值． 解析　(1)由题可设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)， ①当λ＞0时，方程为－＝1， 令4λ＝2得λ＝， 即双曲线方程为－＝1， ②当λ＜0时，方程为－＝1， 令－3λ＝2得λ＝－3， 即双曲线方程为－＝1， 所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，满足－＝1， |PA|＝＝＝＝. 则当x0＝时，|PA|有最小值，为. 学科网（北京）股份有限公司 $$