3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析　将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4. 答案　C 2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　由e＝＝知，可令a＝2k，c＝k(k＞0)， 由b2＝c2－a2＝k2知b＝k，所以＝，即渐近线方程为y＝±x.故选C． 答案　C 3．双曲线C：－＝1过点(， )，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析　∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程为x2－＝1.故选A． 答案　A 4．(多选)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　) A．有相同的焦点 B．有相同的焦距 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 解析　两方程均化成标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确；C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误． 答案　BD 5．已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 解析　双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±，故m＝－3. 答案　－3 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________________． 解析　由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1. 答案　－＝1 7．渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________，离心率为________． 解析　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 故可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)． 因为点A(2，－3)在双曲线上， 所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 所以a＝2，c＝＝2， 所以离心率为e＝＝＝. 答案　－＝1　 8．分别求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点； (2)焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，且顶点到渐近线的距离为1； (3)焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线． 解析　(1)对圆C的方程，令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，即圆C与x轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)．令x＝0，得y2－4y＋8＝0，此方程无解，即圆C与y轴没有交点．因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点． 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12， 从而双曲线的标准方程为－＝1. (2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 渐近线方程为y＝±x＝±x，则a＝b. 由顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离为1，得＝1，所以a＝2，b＝a＝， 从而双曲线的标准方程为－＝1. (3)设所求双曲线的标准方程为－＝1(λ≠0)．由双曲线的一个焦点为(0,6)，可知λ＜0，且－λ－2λ＝36，得λ＝－12，则双曲线的标准方程为－＝1. [关键能力·综合提升] 9．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是(　　) A． B． C．或 D．1＋ 解析　由题意易知F(－c,0)，A(a,0)，设B(0，b)， 则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2. 由△ABF为等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|， 即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形可得 c2－2a2－2ac＝0， 又e＝，则有e2－2e－2＝0， 解得e＝1±， 又双曲线中e>1，所以e＝1＋. 答案　D 10．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　∵C：－＝1(a＞0，b＞0)， ∴双曲线的渐近线方程是y＝±x， 联立x＝a与y＝±x， 可得D(a，b)，E(a，－b)，∴|ED|＝2b， ∴△ODE面积为S△ODE＝a×2b＝ab＝8. ∵双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)， ∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝8(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)， ∴C的焦距的最小值为8. 答案　B 11．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． 解析　联立解得 所以|BF|＝. 依题可得，＝3，|AF|＝c－a， 即＝＝3，变形得c＋a＝3a，c＝2a， 因此，双曲线C的离心率为2. 答案　2 12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________． 解析　由题意，得＝tan＝，则e＝＝＝2，所以＝＝≥. 答案　 13．已知双曲线E：－＝1(m)＞0)． (1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线E的离心率e∈，求实数m的取值范围． 解析　(1)当m＝4时，双曲线方程为－＝1， 所以a＝2，b＝，c＝3， 所以双曲线E的焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y＝±x. (2)因为e2＝＝＝1＋，e∈， 所以<1＋<2，解得5<m<10， 所以实数m的取值范围是(5,10)． [核心价值·探索创新] 14．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m)＞0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________． 解析　椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况． 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图． 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为， 所以椭圆半焦距为2,2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1. 双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4， 所以双曲线N的离心率为2. 答案　－1　2 15．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 解析　因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|， 所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a (当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时，等号成立)， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a， 因为|PF1|－|PF2|＝2a＜2c， |PF1|＋|PF2|＝6a＞2c， 所以1＜e＝＜3，即e∈(1,3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$