3.2.1 双曲线及其标准方程(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．动点P到点M(1,0), N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析　由||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，所以点P的轨迹是两条射线，故选C． 答案　C 2．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 解析　双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8. 由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8， 又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8， 解得|MF2|＝4. 答案　B 3．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)满足＝，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　由题意可得椭圆的焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，则在双曲线C中，有解得 所以双曲线C的方程为－＝1. 答案　A 4．(多选)已知方程＋＝1表示的曲线为C，给出以下四个判断，正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 解析　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，所以t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，所以1<t<；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则解得t>4. 答案　BCD 5．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. 解析　由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16. 答案　16 6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为________． 解析　由题意如 得(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2， 又c＝，所以b＝1，故双曲线的方程为－y2＝1. 答案　－y2＝1 7．若点P在双曲线－＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________． 解析　记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝＝2，所以－＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3.由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11. 答案　±3　11 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)． 解析　(1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4. ∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∵焦点在x轴上， ∴所求的双曲线的标准方程是－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 则∴ ∴双曲线方程为－＝1. [关键能力·综合提升] 9．在△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　) A． B．± C．－ D．± 解析　因为在△ABC中，由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝＝(R为△ABC外接圆的半径)，所以＝＝. 由双曲线的定义得|BC|－|AC|＝±8， 所以＝±＝±. 答案　D 10．已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0,2)，则△PFM的周长的最小值为(　　) A．2＋4 B．4＋2 C．3 D．2＋3 解析　依题意可知，c＝2，a＝1， 所以|MF|＝2，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a，F1为左焦点，当M，P，F1三点共线时，|PM|＋|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|＝2，故周长的最小值为2＋2＋2＝2＋4. 答案　A 11．已知点A(0,2)，B(0，－2)，C(3,2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为________________． 解析　因为|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，故|MA|＋3＝|MB|＋，即|MA|－|MB|＝2，故点M(x，y)的轨迹是以A(0，2)，B(0，－2)为焦点的双曲线的下支，且a＝1，c＝2，故b2＝c2－a2＝3，故方程为y2－＝1(y≤－1)． 答案　y2－＝1(y≤－1) 12．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为________． 解析　由题意知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)，F2(0，－5)，由椭圆与双曲线的定义可得所以或又|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝24，＝|PF1|·|PF2|＝24. 答案　24　24 13．设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的动圆的圆心M的轨迹方程． (1)与圆C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)； (2)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切． 解析　(1)∵圆C与圆M内切，点A在圆C外， ∴|MC|＝r－，|MA|＝r， ∴|MA|－|MC|＝， 即动点M到两定点A(2,0)，C(－2,0)的距离之差为常数，且＜|AC|＝4， ∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支， ∴点M的轨迹方程是2x2－＝1. (2)∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切， ∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1， ∴|MC1|－|MC2|＝4＜|C1C2|＝6， ∴点M的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点的双曲线的右支， ∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥2)． [核心价值·探索创新] 14．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　设P(8，y0)在第一象限，－＝1⇒y0＝3， |PF2|＝＝6， |PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，cos∠F1PF2＝＝. 答案　C 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状． 解析　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有解得a2＝3，b2＝2， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)不妨设M点在右支上，则有 |MF1|－|MF2|＝2， 又|MF1|＋|MF2|＝6， 故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2， 又|F1F2|＝2， 因此在△MF1F2中，MF1边最长， 而cos∠MF2F1＝<0， 所以∠MF2F1为钝角． 故△MF1F2为钝角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$