3.1.2 第2课时 椭圆方程与性质的应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 解析　联立化简整理得3x2＋2x－1＝0， 则Δ＝22＋4×3＝16>0， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交． 故选C． 答案　C 2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　) A． B． C． D． 解析　由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0. 所以弦的中点的横坐标是x＝×＝， 代入直线方程y＝x－1中，得y＝－. 所以弦的中点坐标是.故选A． 答案　A 3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若tan∠PF2F1＝，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，把x＝－c代入＋＝1，可得y＝±，不妨取P， 则|PF1|＝，而|F1F2|＝2c， 所以tan∠PF2F1＝＝＝＝， 则2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0. 解得e＝－2(舍)或e＝. 答案　A 4．(多选)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值可以为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　根据椭圆的离心率为，得＝. 由x0＝b，得y＝b2＝， ∴y0＝±，∴k＝＝±＝±. 答案　AD 5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦的长为__________，最短弦的长为________． 解析　过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦．因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 答案　4　3 6．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________． 解析　因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以＞2，所以m2＋n2＜4，即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径长的圆内，故直线mx＋ny＝4与椭圆＋＝1有两个交点． 答案　2 7．过椭圆＋＝1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是________． 解析　设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为椭圆的左焦点为(－4,0)，由得34x2＋200x＋175＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝＝×＝× ＝× ＝. 答案　 8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率是. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求直线l与坐标轴围成的三角形的面积． 解析　(1)由已知可得＝，＋＝1， c2＝a2－b2，解得a＝2，b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得＋y＝1，＋y＝1. 两式相减得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0. 由中点坐标公式得x1＋x2＝1，y1＋y2＝1， 所以kAB＝＝－，可得直线AB的方程为y－＝－， 令x＝0，可得y＝，令y＝0，可得x＝，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为S＝××＝. [关键能力·综合提升] 9.如图，椭圆＋y2＝1(a>1)与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，点P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为(　　) A． B．2 C．1 D．2 解析　由题意知，F1(－c,0)，A(a,0)，B(0,1)，则点P，所以直线BA的斜率kBA＝－，直线PO的斜率kPO＝＝－.由BA∥PO，得kBA＝kPO，所以－＝－，则c＝1，所以椭圆的焦距为2c＝2.故选D． 答案　D 10．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由消去x，得(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0， Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0， 整理得3m＋n＝16mn，即＋＝16　①. 又由焦点F1(－2,0)，F2(2,0)在x轴上， 得－＝4　②，联立①②，解得故椭圆的方程为＋＝1， 所以长轴长为2.故选C． 答案　C 11．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________． 解析　依题意知点P位于椭圆C的内部(异于原点O)， 因此有|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＜2a， 即2≤|PF1|＋|PF2|＜2， 故范围为[2,2)． 答案　[2,2) 12．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，则实数k的值为________． 解析　依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．如图，设D，E，F三点的坐标分别为D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，由得(1＋4k2)x2＝4， 则x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4， 故x2＝－x1＝， 由＝6，知x0－x1＝6(x2－x0)， 得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝， 由点D在直线AB上，知 x0＋2kx0＝2，x0＝， 所以＝， 化简得24k2－25k＋6＝0， 解得k＝或k＝. 答案　或 13．(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0,3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 解析　(1)第1步：代入A，P坐标求解a，b 由题知解得 第2步：根据a，b，c的关系求解c，得出C的离心率e ∴c＝＝，∴C的离心率e＝＝. (2)第1步：求解|PA| |PA|＝＝， 第2步：得出点B到直线PA的距离h 设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝. 第3步：求解点B坐标 易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x，y)， 则解得 或∴B(0，－3)或B， 第4步：求直线l的方程 故l：y＝x－3或y＝x. [核心价值·探索创新] 14.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R， ∴AC＝2R＝22，R＝11， 过C作CE∥BD交l1于E，则CE＝BD， 在△ACE中，CE＝， ∴CE＝22×＝2a，∴a＝＝，b＝R， ∴c＝＝R，∴e＝＝＝. 答案　B 15．椭圆C：＋y2＝1的右顶点和上顶点分别为A，B，斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在第一象限)． (1)求证：直线AP，BQ的斜率互为相反数； (2)求四边形APBQ面积的最大值． 解析　(1)证明　设直线l方程为y＝x＋b， 代入椭圆C：＋y2＝1并整理得x2＋2bx＋2b2－2＝0.设P，Q两点的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝－2b，x1x2＝2b2－2， 从而kAP＋kBQ＝＋ ＝ ＝＝0. 所以直线AP，BQ的斜率互为相反数． (2)设C：＋y2＝1的左顶点和下顶点分别为C，D，则直线l，BC，AD为互相平行的直线，所以A，B两点到直线l的距离和等于两平行线BC，AD间的距离d＝， 因为|PQ|＝|x1－x2|＝|x1－x2|， 所以SAPBQ＝d·|PQ|＝|x1－x2|＝， 又点P在第一象限，所以－1＜b＜1， 所以当b＝0时，四边形APBQ的面积取得最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$