3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·九省联考)椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝(　　) A． B． C． D．2 解析　由题意，得e＝＝，解得a＝， 故选A． 答案　A 2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析　椭圆＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.椭圆＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.故选D． 答案　D 3．F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 解析　当焦点在x轴上时，cos∠OFA＝＝＝＝.因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，所以椭圆方程为＋＝1；同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1. 答案　D 4．(多选)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是(　　) A． m＝2 B．椭圆C的长轴长为 C．椭圆C的短轴长为2 D．椭圆C的离心率为 解析　由已知可得＝1，解得m＝2或m＝－1(舍去)，∴椭圆C的方程为＋＝1. ∴a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，则c＝1. ∴长轴长为2a＝2，短轴长为2b＝2，离心率为e＝＝＝.故选ACD． 答案　ACD 5．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁平(填序号)． 解析　x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1>e2，故①更扁平． 答案　① 6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为________，离心率为________． 解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝，又2b＝2，即b＝1， 所以a2＝b2＋c2＝6， 则所求椭圆的标准方程为＋x2＝1， 易求离心率为e＝＝. 答案　＋x2＝1　 7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为________． 解析　因为b＝1，所以c2＝a2－1，又＝＝1－≤，所以≥，所以a2≤4，又a2－1＞0，所以a2＞1，所以1＜a≤2，故长轴长2＜2a≤4. 答案　(2,4] 8．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A. (1)求满足条件的椭圆方程； (2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率． 解析　(1)由已知焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵2c＝2，∴c＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)， 2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋ ＝4， ∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆方程为＋＝1. (2)顶点坐标(±2,0)，(0，±)；长轴长4，短轴长2；离心率e＝. [关键能力·综合提升] 9．椭圆＋＝1(a>b>0)与＋＝λ(λ>0，且λ≠1)具有相同的(　　) A．长轴长 B．焦点 C．离心率 D．顶点 解析　椭圆＋＝1的离心率为＝；椭圆＋＝λ(λ>0，且λ≠1)的标准方程为＋＝1，其离心率为＝，所以椭圆＋＝1与＋＝λ(λ>0，且λ≠1)具有相同的离心率． 答案　C 10．设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　由题意，点B(0，b)，设P(x0，y0)，则＋＝1⇒x＝a2， 故|PB|2＝x＋(y0－b)2＝a2＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2，y0∈[－b，b]． 由题意，当y0＝－b时，|PB|2最大， 则－≤－b，b2≥c2，a2－c2≥c2，e＝≤， 即e∈.故选C． 答案　C 11．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是________． 解析　当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长为6厘米， ∴椭圆离心率e＝＝， ∴e∈. 答案　 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________． 解析　将直线y＝与椭圆的方程联立得 B，C，F(c,0)， 则kBF＝，kCF＝， 因为∠BFC＝90°， 所以kBF·kCF＝×＝－1， 整理得b2＝3a2－4c2，所以a2－c2＝3a2－4c2， 即3c2＝2a2所以e＝＝. 答案　 13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P. (1)若∠F1PF2为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程； (2)若∠F1PF2为锐角，求椭圆C的离心率的取值范围． 解析　(1)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，所以b＝c，a＝c.又焦距为2，所以c＝1，a＝，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为锐角，所以0°<∠OPF2<45°(O为坐标原点)， 所以sin∠OPF2＝∈， 所以椭圆C的离心率的取值范围为. [核心价值·探索创新] 14．(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个选项中正确的是(　　) A．点P到F1 (－4,0)，F2(4,0)，E1( 0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值 B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称 C．曲线C所围区域的面积必小于36 D．曲线C的总长度不大于6π 解析　若点P在椭圆＋＝1上，则点P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆组成的图形关于直线y＝x，y＝－x均对称，所以曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确； 曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确； 曲线C在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选BC． 答案　BC 15．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围． 解析　(1)由题意知 解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P点的坐标为(x0，y0)， 则＋＝1， 所以||2＝(x0－m)2＋y ＝x－2mx0＋m2＋12 ＝x－2mx0＋m2＋12 ＝(x0－4m)2－3m2＋12， 所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为x0＝4m.由题意知，当x0＝4时，||2最小，而x0∈，所以4m≥4，所以m≥1. 又点M(m,0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4. 所以实数m的取值范围为[1,4]． 学科网（北京）股份有限公司 $$