3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程(二)(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆． 答案　B 2．已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时|PF1|＋|PF2|＝2|F1 F2|，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　由已知，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则＋＝1.又|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，由椭圆定义得，2a＝4c，即a＝2c.因为a2－b2＝c2，所以a2＝8，b2＝6，所以椭圆的标准方程为＋＝1，故选A． 答案　A 3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 解析　设椭圆的右焦点为F2， 由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|， 又|MF1|＋|MF2|＝2a， 所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c， 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆． 答案　B 4．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 解析　由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， 在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝， ∵0°<∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2＝60°. 答案　A 5．已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为________________． 解析　由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为(1,0)，(－1,0)，2a＝4，故a＝2，c＝1，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 答案　＋＝1 6．已知点A(－，0)，B(，0)，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是－，则动点P的轨迹C的方程为____________________． 解析　设P(x，y)(x≠±)， 由kAP·kBP＝·＝－， 整理得＋y2＝1(x≠±)． 故动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1(x≠±)． 答案　＋y2＝1(x≠±) 7．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积＝________. 解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝. 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， 所以|PF1|＝4，|PF2|＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以△PF1F2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4. 答案　4 8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． 解析　(1)依题意，知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2， 所以a2－a2＝1，即a2＝1. 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由于点P在椭圆上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1， 所以|PF1|＝，|PF2|＝. 又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝. 故∠F1PF2的余弦值为. [关键能力·综合提升] 9．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则·＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析　解法一　因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°， 从而＝b2tan 45°＝1＝×·，所以·＝2. 故选B． 解法二　因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2， 所以2＋2＝2＝42＝16，又＋＝2a＝2，平方得： 2＋2＋2＝16＋2＝20，所以·＝2. 故选B． 答案　B 10．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　) A．9,12 B．8,11 C．8,12 D．10,12 解析　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10， 连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，设r为两圆的半径，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8,12. 答案　C 11．已知椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上．若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为____________． 解析　如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大， 所以×8b＝12，所以b＝3.又c＝4，所以a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　＋＝1 12．若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，|AB|＝6，点M是线段AB上一点，且|AM|＝2，则动点M的轨迹方程是________________． 解析　设M(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)．如图，由|AB|＝6，|AM|＝2，得＝， 则(x－xA，y)＝(－xA，yB)， 即得 又x＋y＝36，则所求动点M的轨迹方程为＋＝1. 答案　＋＝1 13．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程． 解析　如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B， ∴|PB|＝r. 又圆P与圆A内切，圆A的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6)． ∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16， ∴圆心P的轨迹方程为＋＝1. [核心价值·探索创新] 14．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 解析　圆心C(－1,0)，半径为5，设点M(x，y)， ∵AQ的垂直平分线交CQ于M， ∴|MA|＝|MQ|， 又|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2， 即|MA|＋|MC|＝5>|AC|， 由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，∴b＝， 故椭圆方程为＋＝1. 答案　D 15．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点． (1)若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标； (2)设K是(1)中所求椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程． 解析　(1)∵点A到F1，F2两点的距离之和为4， ∴2a＝4，∴a＝2. ∵点A在椭圆＋＝1上， ∴＋＝1，即＋＝1，解得b2＝3， ∴c2＝a2－b2＝1， 故椭圆C的方程为＋＝1， 焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)． (2)设动点K(x1，y1)，线段F1K的中点坐标为Q(x，y)． 由(1)知，F1(－ 1,0)， ∴即 ∵点K(x1，y1)在椭圆上， ∴＋＝1， 即2＋＝1. ∴线段F1K的中点的轨迹方程为2＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$