3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程(一)(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 解析　因为m＞2，所以m＋＞2＝4，又|F1F2|＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆． 答案　A 2．已知椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．5 B．5或8 C．5或3 D．3 解析　当椭圆＋＝1的焦点在x轴上时，有m－4＝12，解得m＝5；当椭圆＋＝1的焦点在y轴上时，有4－m＝12，解得m＝3.所以m的值为5或3. 答案　C 3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5.又2b＝4，所以b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1. 答案　B 4．(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法中正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件 解析　A项，当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；B项，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；C项，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5<k<4.所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，所以C正确；D项，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1<k<2.5.所以D正确．故选CD． 答案　CD 5．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________． 解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8. 答案　8 6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________． 解析　由题意可得所以 故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1. 答案　＋＝1 7．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________． 解析　由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝.所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 答案　＋x2＝1 8．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)． 解析　(1)由题意知，椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝＋＝10，∴a＝5. 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⇒ 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)根据题意可知c＝2，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±2)．∵椭圆经过点M(3,2)，∴由椭圆的定义可得2a＝＋＝8，即a＝4， ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12， 故椭圆的标准方程为＋＝1. [关键能力·综合提升] 9．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝(　　) A．－1 B．1 C． D．－ 解析　由5x2＋ky2＝5得，x2＋＝1. 因为焦点为(0,2)，所以a2＝，b2＝1， 所以c2＝a2－b2＝－1＝4，所以k＝1. 答案　B 10．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 解析　由题，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， 所以|MF1|·|MF2|≤2＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)． 所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 故选C． 答案　C 11．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为____________． 解析　易知|AF2|＝|AB|＝，|F1F2|＝2.由椭圆的定义，得|AF1|＝2a－　①.在Rt△AF2F1中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝2＋22＝　②.由①②得a＝2，所以b2＝a2－12＝3.故椭圆C的标准方程为＋＝1. 答案　＋＝1 12．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________. 解析　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12. 答案　12 13．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的标准方程． 解析　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 不妨取|PF1|＝，|PF2|＝， 由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2， 即a＝. 由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴． 在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝， ∴c2＝， ∴b2＝a2－c2＝. 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上， 故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1. [核心价值·探索创新] 14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________. 解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. ∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上， ∴|BC|＋|AB|＝2a＝10， ∴由正弦定理可知＝＝＝. 答案　 15．如图所示，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点． (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长． 解析　(1)由＋＝1得a2＝100，b2＝36， 于是a＝10，c＝＝＝8， 所以椭圆的焦点坐标为F1(－8,0)，F2(8,0)． (2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)，由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40. 学科网（北京）股份有限公司 $$