2.3.1 两条直线的交点坐标(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的是(　　) A．2x＋2y＝6 B．x＋y＝0 C．y＝－x－3 D．y＝x－1 解析　直线x＋y－1＝0的斜率为－1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交，故选D． 答案　D 2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－ C．2 D． 解析　解方程组得所以两直线的交点为(－1，－2)，将代入x＋ky＝0，得k＝－. 答案　B 3．(多选)若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的值可为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　解方程组得又交点在第四象限，所以解得－＜m＜2，故选AB． 答案　AB 4．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1,1)，则a＝________，b＝________. 解析　由题意知点(1,1)既在直线y＝ax＋1上又在直线y＝x＋b上，故a＋1＝1且b＋1＝1，所以a＝0，b＝0. 答案　0　0 5．经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为___________________． 解析　设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0.因为点P(1,0)在直线上，所以1－2＋λ(3＋2)＝0，所以λ＝，所以所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. 答案　x＋y－1＝0 6．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，使： (1)l1与l2相交于一点P(m,1)； (2)l1∥l2且l1过点(3，－1)； (3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1. 解析　(1)由于l1与l2相交于一点P(m,1)，把点P(m,1)代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0，2m＋m－1＝0，联立解得m＝，n＝－. (2)因为l1∥l2且l1过点(3，－1)， 所以解得或 (3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，当m＝0时，l1的方程化为8y＋n＝0，l2的方程化为2x－1＝0，直线l1，l2垂直，由题意得－8＋n＝0，解得n＝8，所以m＝0，n＝8； 当m≠0时，－·≠－1， 所以直线l1与l2不垂直． 综上可知m＝0，n＝8. [关键能力·综合提升] 7．无论m取何实数时，直线(m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒过定点，则定点的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　直线方程可化为－x－3y＋11＋m(x－y－1)＝0，解方程组得 答案　A 8．(多选)已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是(　　) A．l1与l2的交点坐标是(0，－1) B．过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0 C．l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D．l1的倾斜角是锐角 解析　联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0，解得交点坐标为(－1,4)，所以A中说法错误；由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，所以B中说法正确；l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝××4＝，所以C中说法正确；l1的斜率k1＝－3<0，所以l1的倾斜角是钝角，所以D中说法错误． 答案　BC 9．(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以为(　　) A．－ B．－ C． D．2 解析　设三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0分别为l1，l2，l3，斜率分别为k1，k2，k3，且k1＝，k2＝－，k3＝m， 当l3∥l1时，k3＝k1即m＝，l1，l2，l3不能构成三角形； 当l3∥l2时，k3＝k2即m＝－，l1，l2，l3不能构成三角形； 由可得 所以直线l1，l2的交点为， 当直线l3过直线l1，l2的交点时，l1，l2，l3不能构成三角形， 此时－m＋－1＝0，可得m＝－， 综上所述，实数m的取值集合为. 答案　ABC 10．已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2. (1)求直线l1与l2的交点坐标； (2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程． 解析　(1)设l2的方程为2x－y＋m＝0. 因为l2在x轴上的截距为， 所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3. 即l2：2x－y－3＝0. 由得 所以直线l1与l2的交点坐标为(2,1)． (2)当l3过原点时，l3的方程为y＝x； 当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1， 则＋＝1，得a＝， 所以l3的方程为2x＋y－5＝0， 综上，l3的方程为y＝x或2x＋y－5＝0. [核心价值·探索创新] 11．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________． 解析　由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k＋4)＋×4×(2k2＋2－2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$