2.2.3 直线的一般式方程(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x－3y－1＝0 D．x＋3y－1＝0 解析　由题意知，直线斜率k＝tan 60°＝，在y轴上的截距为－1，所以直线的斜截式方程是y＝x－1，化为一般式为x－y－1＝0. 答案　A 2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有(　　) A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5 解析　直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程＋＝1，所以a＝2，b＝－5. 答案　B 3．(多选)两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是(　　) A．m＝1 B．m＝±1 C． D． 解析　根据两直线平行可得＝，所以m＝±1.又两直线不重合， 所以m＝1时，n≠－1；m＝－1时，n≠1. 答案　CD 4．(多选)下列说法正确的有(　　) A．直线y＝ax－2a(a∈R)必过定点(2,0) B．直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1 C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为120° D．过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0 解析　A中，由y＝ax－2a⇒y＝a(x－2)，故直线必过点(2,0)，正确； B中，令x＝0，得y＝－1，故直线在y轴上的截距为－1，错误； C中，直线的斜率为－，则倾斜角为150°，错误； D中，直线2x＋y＋1＝0，x－2y＋3＝0的斜率分别为－2，，由于－2×＝－1，故两直线垂直，将(－2,3)代入2x＋y＋1＝0得2×(－2)＋3＋1＝0，故正确．故选AD． 答案　AD 5．过点(－1,2)且以直线2x－3y－7＝0的方向向量为方向向量的直线的一般式方程是________． 解析　直线2x－3y－7＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为，又所求直线过点(－1,2)，所以所求直线的方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0. 答案　2x－3y＋8＝0 6．过点(－1,5)，且与直线＋＝1垂直的直线方程是________． 解析　直线＋＝1的斜截式为y＝－3x＋6， 故斜率是－3，所以所求直线的斜率是， 所以所求直线方程是y－5＝(x＋1)， 即x－3y＋16＝0. 答案　x－3y＋16＝0 7．已知直线l1：x－my－6＝0，l2：(m－2)x－3y－2m＝0.若l1⊥l2，则m的值为________．若l1∥l2，则m的值为________． 解析　由两直线垂直可得， 1·(m－2)＋m·3＝0，解得m＝， 故当l1⊥l2时，m＝； 由两直线平行可得＝≠， 由＝，解得m＝－1或m＝3， 而当m＝3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m＝－1. 答案　　－1 8．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角为45°，求实数m的值． 解析　(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． (2)由(1)，易知当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝. (3)依题意，得＝－3， 所以3m2－4m－15＝0， 所以m＝3或m＝－，结合(1)知m＝－. (4)因为直线的倾斜角为45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝或m＝－1(舍去)，所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由题意可把ax＋by＝c化为 y＝－x＋. 因为ab<0，bc<0， 所以直线的斜率k＝－>0， 直线在y轴上的截距<0， 由此可知直线通过第一、三、四象限． 答案　ACD 10．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．2y－x－4＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋y－5＝0 D．2x＋y－7＝0 解析　由x－y＋1＝0得A(－1,0)， ∵P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，∴P为线段AB中垂线上的点，故B(5,0)．又直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补，∴两直线的斜率互为相反数，故直线PB的斜率kPB＝－1，∴直线PB的方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 答案　C 11．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a>0，则a＋b＝________. 解析　由＋＝1，得y＝－x＋b，一般式为bx＋ay－ab＝0，所以－＝－2，－ab＝－8，即解得或 因为a>0，所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6. 答案　6 12．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 解析　直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋.由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 答案　 13．已知直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直线l1过点M(－4，－1)； (2)直线l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数． 解析　(1)因为l1过点M(－4，－1)， 所以－4a＋b＋4＝0. 因为l1⊥l2，所以a×(1－a)＋b＝0. 所以或 (2)由题意可得，两条直线不可能都经过原点，当b＝0时，两条直线分别化为ax＋4＝0，(a－1)x＋y＝0，可知两条直线不平行． b≠0时两条直线分别化为 y＝x＋，y＝(1－a)x－b， 所以＝1－a，＝b， 解得或 [核心价值·探索创新] 14．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，则△ABC的“欧拉线”方程为(　　) A．3x＋4y－3＝0 B．3x－4y＝0 C．3x－4y＋3＝0 D．3x＋4y＝0 解析　因为直线AB的斜率为＝0，直线AC的斜率不存在，所以∠CAB为直角，即△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0,0)，外心为斜边BC的中点M(4,3)．因为点A，M所在直线的斜率为＝，所以“欧拉线”的方程为y＝x，即3x－4y＝0.故选B． 答案　B 15．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解析　(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0， 所以a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0； 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2， 所以＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)， 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 因为l不经过第二象限， 所以解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$