2.2.2 直线的两点式方程(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知直线l1的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由两点式方程＝，知直线l过点(－5,0)，(3，－3)， 所以l的斜率为＝－. 答案　A 2．直线＋＝1过一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析　直线＋＝1在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，若此直线过一、二、三象限，则a<0，b>0. 答案　C 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1 B．若直线与两轴交点分别为A，B且AB的中点为(4,1)，则直线l的方程为＋＝1 C．过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2 D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 解析　A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)的直线方程为＋＝1，故B正确；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C正确；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确． 答案　BCD 4．(多选)过定点(2,3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为(　　) A．3x－2y＝0 B．x＋y－5＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋5＝0 解析　①若此直线经过原点，则斜率k＝，所以要求的直线方程为3x－2y＝0； ②若直线不经过原点，则满足题意的直线方程为x±y＝a，把(2,3)代入上述直线的方程得2±3＝a，解得a＝5或－1.所以直线的方程为x＋y－5＝0，x－y＋1＝0. 综上可知：要求的直线方程为3x－2y＝0，x＋y－5＝0，x－y＋1＝0. 答案　ABC 5．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为________． 解析　由两点式得直线方程为＝， 即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27. 答案　27 6．经过两点M(4,3)，N(1,5)的直线交x轴于点P，则点P的坐标是________． 解析　由直线的两点式方程，得MN所在直线的方程为＝，即2x＋3y－17＝0. 令y＝0，得x＝，故P点坐标为. 答案　 7．已知A(2，－1)，B(6,1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________． 解析　由于A(2，－1)，B(6,1)， 故线段AB中点的坐标为(4,0)， 又直线在y轴上的截距是－3， ∴直线方程为＋＝1， 即3x－4y－12＝0. 答案　3x－4y－12＝0 8．已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程． 解析　(1)设点C的坐标为(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上， 由中点坐标公式得 解得所以点C的坐标为(1，－3)． (2)由(1)知，点M，N的坐标分别为M， N，由直线方程的截距式，得直线MN的方程为＋＝1，即y＝x－. [关键能力·综合提升] 9．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为(　　) A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg 解析　由图知点A(60,6)，B(80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB的方程是＝，即y＝x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李． 答案　C 10．已知A(3,0)，B(0,4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的最大值是(　　) A．2 B．3 C．8 D．12 解析　易求得直线AB的方程为＋＝1， ∵P(m，n)在直线AB上，∴m＝3－n， ∴mn＝3n－n2＝[－(n－2)2＋4]≤3， 当n＝2时，mn取得最大值3.故选B． 答案　B 11．一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0)，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为________． 解析　由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q(2,0)和P(6,4)关于x轴的对称点M(6，－4)，其直线方程为＝，即y＝－x＋2. 答案　y＝－x＋2 12．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________． 解析　由题意可知直线l过原点和平行四边形ABCD的中心，BD的中点为(3,2)，所以由两点式可得直线l的方程为＝，即y＝x. 答案　y＝x 13．已知直线l过点P(4,1)． (1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程． 解析　(1)∵直线l过点P(4,1)，Q(－1,6)， ∴直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. (2)由题意知，若直线过原点，则有＝，即x－4y＝0； 若直线不过原点，则直线l的斜率存在且不为0，故设直线l在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a，∴该直线的方程可设为＋＝1，即＋＝1，解得a＝，即2x＋y－9＝0，综上，直线l的方程为x－4y＝0或2x＋y－9＝0. [核心价值·探索创新] 14．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6,0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 解析　由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0. 答案　D 15．已知直线l过点P(－1,2)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零，求l的方程； (2)设直线l的斜率k>0，直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，求△AOB面积的最小值． 解析　(1)当直线l过原点时，直线l在两坐标轴上的截距和为零， 此时直线l的方程为y＝－2x，即2x＋y＝0. 当直线l不过原点时，设其方程为－＝1，则－＝1，得a＝－3， 此时直线l的方程为＋＝1，即x－y＋3＝0. 综上，直线l的方程为2x＋y＝0或x－y＋3＝0. (2)直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0.令x＝0得y＝k＋2；令y＝0得x＝－－1，所以△AOB的面积为S＝·|k＋2|＝＝＋2＋≥2＋2＝4(当且仅当k＝2时，等号成立)， 故△AOB面积的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$