2.2.1 直线的点斜式方程(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则(　　) A．该直线过点(－1,2)，斜率为－1 B．该直线过点(－1,2)，斜率为1 C．该直线过点(－1，－2)，斜率为－1 D．该直线过点(－1，－2)，斜率为1 解析　直线的方程可化为点斜式y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案　C 2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析　由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方程为y＝－x－1.故选D． 答案　D 3．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．－2 C．0 D．8 解析　因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2，解得m＝－8，又l2⊥l3，所以×(－2)＝－1，解得n＝－2.所以m＋n＝－10.故选A． 答案　A 4．(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．过点P(1,2)且在y轴上的截距为－3的直线方程为x＋y－3＝0 B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C．直线x－y＋1＝0的倾斜角为60° D．过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0 解析　由x＋y－3＝0得y＝－x＋3，满足过点P(1，2)，但在y轴上的截距为3.故A错误；因为直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；由于直线x－y＋1＝0的斜率为，故它的倾斜角为30°，故C错误；因为过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0，故D正确，故选BD． 答案　BD 5．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________． 解析　直线l2的斜率k2＝1， 故l1的斜率为－1， 所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)． 答案　y－1＝－(x－2) 6．已知直线l1：y＝－ax－2(a∈R)．若直线l1的倾斜角为120°，则实数a的值为________；若直线l1在x轴上的截距为2，则实数a的值为________． 解析　由题意可得tan 120°＝－a，解得a＝； 令y＝0，可得x＝－，即直线l1在x轴上的截距为－＝2，解得a＝－1. 答案　　－1 7．若原点O在直线l上的射影是P(1,2)，则直线l在y轴上的截距为________． 解析　由题意得OP⊥l，而kOP＝＝2， 所以kl＝－， 所以直线l的方程为y－2＝－(x－1)， 化成斜截式为y＝－x＋， 所以直线l在y轴上的截距为. 答案　 8．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3. (1)若直线l2与l1平行，且过点(－1,3)，求直线l2的方程； (2)若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程． 解析　(1)由直线l2与l1平行， 可设l2的方程为y＝－2x＋b， 将x＝－1，y＝3代入，得3＝(－2)×(－1)＋b， 即得b＝1，所以直线l2的方程为y＝－2x＋1. (2)由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为y＝x＋m，令y＝0，得x＝－2m，令x＝0，得y＝m， 故三角形面积S＝|－2m|·|m|＝4， 所以m2＝4，解得m＝±2，所以直线l2的方程是y＝x＋2或y＝x－2. [关键能力·综合提升] 9．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．±1 解析　因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1， 又l1∥l2，两直线l1与l2不能重合， 则3a≠3，即a≠1，故a＝－1. 答案　B 10．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　) 解析　对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意． 答案　C 11．如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是________． 解析　直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为×＝，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝x＋4. 答案　y＝x＋4 12．已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________________． 解析　在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，即M点的坐标为(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＋＝0；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．综上所述，所求直线l′的方程为x＋＝0或y＝(x＋)． 答案　x＋＝0或y＝(x＋) 13．已知在平面直角坐标系中的两点A(8，－6)，B(2，2)． (1)求线段AB的中垂线的方程； (2)求以向量为方向向量且过点P(2，－3)的直线l的方程． 解析　(1)易知线段AB的中点的坐标为(5，－2)， ∵kAB＝＝－，∴线段AB的中垂线的斜率为， ∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)，即y＝x－. (2)由已知得＝(－6,8)，则直线l的斜率为－， 由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，即y＝－x－. [核心价值·探索创新] 14．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________． 解析　由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示． 若l与线段AB相交， 则kPA≤k≤kPB， 因为kPA＝＝－2，kPB＝＝， 所以－2≤k≤. 答案　 15．过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程． 解析　易知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y－1＝k(x－3)，即y＝kx＋1－3k. 在直线AB的方程中，令x＝0，可得y＝1－3k； 令y＝0，可得x＝. 所以点A，B(0,1－3k)． 由已知条件可得解得k＜0. △AOB的面积为 S＝×(1－3k)×＝≥×＝6， 当且仅当－9k＝－(k＜0)，即k＝－时，等号成立． 所以直线AB的方程为y＝－x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$