2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 解析　由斜率公式计算得，过点A(2,5)和点B(－4，5)的直线的斜率为0，且直线AB不与直线y＝3重合． 答案　B 2．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， ∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－. 答案　C 3．(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则实数m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　当m＝0时，A(0,3)，B(0,4)，C(1,2)，D(1，0)，直线AB⊥x轴，直线CD⊥x轴，此时直线AB与CD平行．当m≠0时，kAB＝，kCD＝，因为直线AB与CD平行，所以＝，所以m＝1.故选BC． 答案　BC 4．(多选)已知点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2，12)，则下列结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QR D．PR∥QS 解析　由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，kQR＝＝.所以ABC均正确，D错误． 答案　ABC 5．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 解析　由题意得l1∥l2，所以kAB＝kMN，因为kAB＝＝－，kMN＝＝3， 所以－＝3，所以a＝－6. 答案　－6 6．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为________时，AB⊥CD． 解析　设D的坐标为(x,0)，因为kAB＝4，由AB⊥CD可知kAB·kCD＝－1，即4×＝－1，解得x＝－9. 答案　(－9,0) 7．已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_______；若l1∥l2，则b＝________. 解析　若l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即－＝－1，∴b＝2；若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，∴b＝－. 答案　2　－ 8．已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)． (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1⊥l2，求m的值． 解析　由题知直线l2的斜率存在且 k2＝＝－. (1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2， 得＝－，解得m＝1或m＝6， 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. (2)若l1⊥l2，当k2＝0时， 此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意； 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0， 则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1， 即－·＝－1， 解得m＝3或m＝－4， 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. [关键能力·综合提升] 9．已知A(1,2)，B(－1,0)，C(2，－1)，若点D满足CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A．(－2，－3) B．(2，－3) C．(2,3) D．(－2,3) 解析　设D点的坐标为(x，y)，由CD⊥AB，且CB∥AD，知kCD·kAB＝－1，kCB＝kAD，即解得即D点的坐标为(－2,3)，故选D． 答案　D 10．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,3)，B(0,1)，C(4，3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________. 解析　由题意得AD⊥BC，则kAD·kBC＝－1， 所以·＝－1，解得m＝3. 答案　3 11．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________． 解析　以AB为直径的圆与x轴有交点C，则AC⊥BC，设C点坐标为(x,0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，整理得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1或x2＝2，所以C点坐标为(1,0)或(2,0)． 答案　(1,0)或(2,0) 12．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________． 解析　设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在，所以 即解得即A(－19，－62)． 答案　(－19，－62) 13．已知四边形ABCD的顶点为A(－7,0)，B(2，－3)，C(5,6)，D(－4,9)，求证：四边形ABCD为正方形． 证明　∵kAD＝＝3，kBC＝＝3，∴AD∥BC． 又kAB＝＝－，kCD＝＝－， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kAD＝×3＝－1，∴AB⊥AD， ∴四边形ABCD为矩形． ∵kAC＝＝，kBD＝＝－2， ∴kBD·kAC＝－1，∴AC⊥BD， 即矩形ABCD的对角线互相垂直， ∴四边形ABCD为正方形． [核心价值·探索创新] 14．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________. 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝， 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝， ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－， ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 答案　4＋ 15．已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 解析　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1.　① 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2.　② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)． (2)设Q(x,0)， ∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP. 又kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1，∴Q(1,0)． 又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $$