1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2的夹角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 解析　α＝θ或α＝π－θ，且α∈，所以cos α＝|cos θ|. 答案　D 2．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，M，A(1，0,0)，N.故＝，＝， 所以＝＝＝. 答案　C 3．正三棱锥P­ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设PA＝PB＝PC＝2，则P(0,0,0)，B(0,2,0)，E(1,1,0)，F(0,1,1)，所以＝(0,2,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,1)． 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，－1,1)，设PB与平面PEF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.故选C． 答案　C 4.(多选)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．B1的坐标为(2,2,3) B．＝(－2,0,3) C．平面A1BC1的一个法向量为(－3,3，－2) D．二面角B­A1C1­B1的余弦值为 解析　因为AB＝AD＝2，AA1＝3， 所以A1(0,2,3)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(2,0,3)，所以＝(0，－2,3)，＝(2,0，－3)，故A正确、B错误． 设平面A1BC1的法向量为m＝(x，y，z)． 所以则令x＝－3， 则z＝－2，y＝－3，即平面A1BC1的一个法向量为m＝(－3，－3，－2)，故C错误． 由几何体知识易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0,0,1)， 由于cos〈m，n〉＝＝＝－， 结合图形可知二面角B­A1C1­B1的余弦值为，故D正确．故选AD． 答案　AD 5．若平面α的一个法向量为n＝，直线l的一个方向向量为a＝，则l与α所成角的正弦值为________． 解析　由题，设l与α所成角为θ，可得sin θ＝＝ ＝. 答案　 6.如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD夹角的度数为________． 解析　如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． ∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，令PD＝AD＝1， ∴A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)， ∴＝(1,0，－1)，＝(－1，－1,0)， ∴cos〈，〉＝＝＝－， 故两直线PA与BD夹角的度数为60°. 答案　60° 7．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为________． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，连接BD，C1D，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0，1,2)，所以＝(0,1，0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)． 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 答案　 8.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1＝D1F1＝A1B1. (1)求向量，的坐标； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． 解析　(1)由题意可得B(1,1,0)，E1， D(0,0,0)，F1， 故＝，＝. (2)由(1)可知＝，＝， 所以||＝＝，||＝＝. ·＝0×0＋×＋1×1＝. 所以cos〈，〉＝＝＝.故BE1与DF1所成角的余弦值为. [关键能力·综合提升] 9．如图所示，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　) A．1 B． C． D． 解析　不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos〈，〉|＝＝＝，得λ＝.故选C． 答案　C 10．(多选)在正三棱柱A1B1C1­ABC中，AA1＝AB，则(　　) A．直线AA1与CB1所成的角为30° B．直线AC1与CB1所成的角为60° C．AC1与平面ABC所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 解析　取A1C1的中点E，AC的中点F，连接EF，EB1，则EB1，EC1，EF两两垂直，以E为原点，EB1，EC1，EF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2，则AA1＝2. ∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A，C(0，1,2)，B1，∴＝，＝(，－1，－2)，则＝＝＝，∴直线AA1与CB1所成的角为30°，故A正确． ＝， ∴＝＝＝，故B错误． 平面ABC的一个法向量为m＝， ∴AC1与平面ABC所成角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝，故C正确． 取A1B1的中点K，连接C1K， ∴K的坐标为， 易知侧面AA1B1B的一个法向量为＝， ∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 |cos〈1，〉|＝＝＝，故D正确． 答案　ACD 11．在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为________． 解析　以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a， 则OP＝a，＝， 可求得平面PBC的法向量为n＝， 所以＝＝，设OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝. 答案　 12．在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________. 解析　平面Oxy的一个法向量为n＝(0,0,1)．设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，又＝(－3，4,0)，＝(－3,0，a)，则即即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝. 所以cos〈n，u〉＝＝， 又a>0，所以a＝. 答案　 13.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 解析　如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中， 设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1， 则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB． 以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝AA1＝2， 所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1，C1(0,1,2)． (1)因为P为A1B1的中点， 所以P，从而＝，又＝(0,2,2)， 故cos〈，〉＝＝＝. 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为. (2)因为Q为BC的中点，所以Q， 因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)． 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的法向量， 则即 不妨取z＝1，则x＝，y＝－1，所以n＝(，－1,1)． 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ， 则sin θ＝＝＝＝， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为. [核心价值·探索创新] 14.已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面ACD，则平面BCD与平面ACD夹角的余弦值为________． 解析　如图，取AC的中点E，以E为原点，EA，ED，EB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设菱形ABCD的边长为2，则A(1,0,0)，C(－1，0,0)，D(0，，0)，B， 所以＝，＝. 设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，所以令z＝，则y＝，x＝－3，即n＝(－3，，)．平面ACD的法向量为m＝(0,0,1)． 设平面BCD与平面ACD夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 答案　 15．(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150° 时，求B2P. 解析　(1)证明　以C为原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2，2,1)， ∴＝(0，－2,1)，＝(0，－2,1)， ∴∥， 又B2C2，A2D2不在同一条直线上， ∴B2C2∥A2D2. (2)设P(0,2，λ)(0≤λ≤4)， 则＝(－2，－2,2)，＝(0，－2,3－λ)，＝(－2,0,1)， 设平面PA2C2的法向量n＝(x，y，z)， 则 令 z＝2，得y＝3－λ，x＝λ－1， ∴n＝(λ－1,3－λ，2)， 设平面A2C2D2的法向量m＝(a，b，c)， 则 令 a＝1，得b＝1，c＝2， ∴m＝(1,1,2)， ∴＝ ＝ ＝＝， 化简可得λ2－4λ＋3＝0， 解得λ＝1或λ＝3， ∴P(0,2,1)或P(0,2,3)， ∴B2P＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$