1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 解析　由题意得a∥b， 所以解得x＝－1. 答案　A 2．已知向量＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB⊂α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 解析　由题意可知·n＝0， 可得3x＋4y＋2＝0. 答案　C 3．(多选)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是(　　) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ 解析　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确． 答案　ABC 4．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则直线OA的一个方向向量为________，点P的坐标满足的条件为________． 解析　由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为＝(1,1,1)．因为P∈α，所以⊥，所以(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3. 答案　(1,1,1)(答案不唯一)　x＋y＋z＝3 5.棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为________． 解析　由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以＝(1,1,1)，即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1)． 答案　(1,1,1)(答案不唯一) 6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 解析　设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1，0,2)． (1)连接AC(图略)，易知AC⊥平面BDD1B1， ∴＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量． (2)易知＝(2,2,0)，＝(1,0,2)． 设平面BDEF的法向量为n＝(x，y，z)， ∴∴ 令x＝2，得y＝－2，z＝－1， 即n＝(2，－2，－1)为平面BDEF的一个法向量． [关键能力·综合提升] 7．(多选)已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)，若c为平面α的一个法向量，则(　　) A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得 得 解得 答案　AC 8．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析　∵·＝0，·＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确； 又与不平行， ∴是平面ABCD的一个法向量，则C正确； 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， ∴与不平行，故D错误． 答案　ABC 9．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面A1B1C的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，则棱AA1的长为________． 解析　以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 设AA1＝h，由题意可知C(0,0,0)，A1(1,0，h)， 所以＝(1,0，h)，因为n＝(－2，－2,1)， 所以根据法向量的定义可得，n·＝(－2，－2，1)·(1,0，h)＝－2＋h＝0，解得h＝2，所以AA1＝2. 答案　2 10.如图，在三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量． 解析　＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. ＝＋＝＋ ＝＋(＋＋) ＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量为b＋c. [核心价值·探索创新] 11．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，则平面OCB1的一个法向量n＝________. 解析　∵ABCD是正方形，且AB＝，∴AO＝OC＝1，∴＝(0,1,0)．∵A(0，－1,0)，B(1,0,0)，∴＝(1,1,0)，∴＝(1,1,0)．∵OA＝1，AA1＝，∴OA1＝＝1， ∴＝(0,0,1)． ∴＝＋＝(1,1,1)．设向量n＝(x，y，z)，∵向量n是平面OCB1的法向量， ∴∴ ∴y＝0，x＝－z，取x＝1，∴z＝－1，∴平面OCB1的一个法向量n＝(1,0，－1)，故答案为(1,0，－1)(答案不唯一)． 答案　(1,0，－1)(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$