1.3.2 空间向量运算的坐标表示(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则a·(b＋c)＝(　　) A．6 B．7 C．9 D．13 解析　∵a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，∴b＋c＝(2,0,5)，∴a·(b＋c)＝2×2＋(－3)×0＋1×5＝9. 答案　C 2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若向量a，b，c共面，则实数λ等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　向量a，b，c共面，则存在实数x，y，使得c＝xa＋yb(x，y∈R)，即(1,3，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)， 所以解得x＝1，y＝1，λ＝1.故选A． 答案　A 3．(多选)已知向量a＝(1，－1，m)，b＝(－2，m－1,2)，则下列结论正确的是(　　) A．若|a|＝2，则m＝± B．若a⊥b，则m＝－1 C．不存在实数λ，使得a＝λb D．若a·b＝－1，则a＋b＝(－1，－2，－2) 解析　由|a|＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝(－1，－2,2)，故D选项错误． 答案　AC 4．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝______. 解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝， ∴cos 120°＝＝－，∴k＜0， 解得k＝－. 答案　－ 5．如果A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)三点共线，那么a－b＝________. 解析　∵A，B，C三点共线，∴＝λ， 即(1，－1,3)＝λ(a－1，－2，b＋4) ＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))． ∴解得∴a－b＝1. 答案　1 6．设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c. (1)求|a＋b|； (2)求向量a＋b与2a＋b－c夹角的大小． 解析　(1)由x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c，可得x＋y＋1＝0，＝＝，解得x＝1，y＝－2，则a＝(1,1,1)，b＝(1，－2,1)，所以a＋b＝(2，－1,2)，故|a＋b|＝＝3. (2)因为2a＋b－c＝(1,4,1)，所以(a＋b)·(2a＋b－c)＝2×1＋(－1)×4＋2×1＝0，故向量a＋b与2a＋b－c的夹角为. [关键能力·综合提升] 7．已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A．(3,0,4) B．(3,0,4) C．(2，－2,1) D．(2，－2,1) 解析　∵a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，∴|a||b|·cos〈a，b〉＝a·b＝2×3＋(－2)×0＋1×4＝10，|a|＝＝3，∴向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉·＝·a＝(2，－2,1)．故选C． 答案　C 8．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为(　　) A．3 B． C．2 D． 解析　由题意可建立以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0,0,6)，B(6,6,0)，M(6,0,4)，O(3,3,3)，所以||＝＝，即线段OM的长为，故选B． 答案　B 9．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标是________． 解析　由已知，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)，由得解得∴P(－1,0,2)． 答案　(－1,0,2) 10.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点.＝λ，且PC⊥AB．求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值． 解析　(1)设正三棱柱的棱长为2，以AC的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B，C(0,1,0)， A1(0，－1,2)，C1(0,1,2)，于是＝， ＝(0，－2,2)，＝. 因为PC⊥AB，所以·＝0， 即(＋)·＝0， 亦即(＋λ)·＝0. 故λ＝－＝. (2)由(1)知P，所以＝，＝(0,2,2)， 所以＝＝2，||＝＝2. 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是. [核心价值·探索创新] 11．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为________，若D1E⊥EC，则AE＝________. 解析　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． 则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0，2,0)， 设E(1，m,0)，0≤m≤2， 则＝(1，m，－1)，＝(－1,0，－1)， ∴·＝－1＋0＋1＝0， ∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°. ∵＝(－1,2－m,0)，D1E⊥EC， ∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0， 解得m＝1，∴AE＝1. 答案　90°　1 学科网（北京）股份有限公司 $$