1.3.1 空间直角坐标系(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到Oyz平面的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D． 解析　点P(x，y，z)到Oyz平面的距离为|x|＝1. 答案　A 2．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,10,12) D．(4,2,3) 解析　＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12,14,10)． 答案　A 3.(多选)如图，在长方体OABC­O′A′B′C′中，OA＝1，OC＝3，OO′＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，下列向量坐标表示正确的是(　　) A．＝(3,0,0) B．＝(1,0,2) C．＝ D．＝ 解析　因为OC＝3，所以＝(0,3,0)，故A不正确；因为＝＋＝＋，OA＝1，OO′＝2，所以＝(1,0,2)，故B正确；因为＝＋＋＝＋＋，OA＝1，OC＝3，OO′＝2，所以＝，故C正确；因为＝＋＝＋，OA＝1，OC＝3，所以＝，故D不正确．故选BC． 答案　BC 4．点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________. 解析　P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0)，在y轴上的射影为(0,3,0)，在z轴上的射影为(0,0，4)． 答案　(2,0,0)　(0,3,0)　(0,0,4) 5．如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为________． 解析　因为的坐标为(4,3,2)，所以A(4,0,0)，C1(0,3,2)，所以＝(－4,3,2)． 答案　(－4,3,2) 6.如图所示，在三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，，方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标． 解析　令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k，因为＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋(－)＝＋＋＝i＋×2j＋×3k＝i＋j＋k，所以点P的坐标为. [关键能力·综合提升] 7．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A． B． C． D． 解析　∵＝＋＝＋＝－＋，∴＝. 答案　C 8.在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，点D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为_______，_______. 解析　(1)因为＝－＝－(＋)＝－＝－－－.又||＝4，||＝4，||＝2，所以＝(－2，－1，－4)． (2)因为＝－＝－(＋) ＝－－，又||＝2，||＝4，||＝4，所以＝(－4,2，－4)． 答案　(－2，－1，－4)　(－4,2，－4) 9．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________. 解析　如图，连接A1C1，C1D，A1D，则E在A1C1上，F在C1D上， 易知EF綊A1D，∴＝，即－＝0，∴λ＝－. 答案　－ 10.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，建立空间直角坐标系，如图所示． (1)写出正方体ABCD­A1B1C1D1各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 解析　(1)由题知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)． (2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以E(2,2,1)，F(0,1,0)，易得＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)． (3)易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底{i，j，k}下，＝＋＝－＋＝－2i＋2j，故＝(－2,2,0)． [核心价值·探索创新] 11．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________． 解析　由题意知p＝2a＋b－c， 则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)． 设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝2a＋b－c， ∴解得x＝，y＝，z＝－1， ∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 答案　(1,1,1)　 学科网（北京）股份有限公司 $$