第12讲 比例线段（二）（3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第12讲 比例线段（二）（3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【例1】（2024•安徽模拟）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长的值最接近的是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2024•合肥模拟）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•包河区期末）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则　　（结果保留根号）． 【变式3】（2024•固镇县三模）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，，这个比值介于整数和之间，则的值是 　　． 【变式4】（2023秋•淮北期中）如图，在中，，． （1）求作：的平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：点为线段的黄金分割点（即． 知识点2．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【例2】（2022秋•瑶海区校级期中）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020•涡阳县一模）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•庐阳区一模）正方形纸片中，，分别是、上的点，且，交于．若为中点，则　　；若，则　　． 【变式3】（2023秋•庐阳区校级期末）如图，，，，，，求、的长． 【变式4】（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 知识点3．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 【例3】（2023秋•青阳县期末）下列各组图形一定相似的是　　 A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似 【变式1】（2020秋•望江县期末）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•迎江区校级期中）如图，四边形四边形，，，，则　　． 【变式3】（大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，，，，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，求的面积． 经典题型汇编 题型一、由平行判断成比例的线段 1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的中线，E是上一点，且．连接并延长交于点F，过点A作//交的延长线于点G，则 ． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 题型二、由平行截线求相关线段的长或比值 4．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，，，则的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 5．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，直线．若则的长为 ． 6．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    题型三、黄金分割 7．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则 （结果保留根号）． 9．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级·安徽·阶段练习）下列各组种的四条线段成比例的是（　　） A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足的作图中不正确的是（　　） A．B． C．D． 4．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（19-20九年级上·安徽合肥·阶段练习）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（    ） A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（    ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，，则下列结论正确的是（        ）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，那么（   ）． A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F．若，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．7 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽六安·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 12．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，已知l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF＝ ． 13．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离A点至少 处．（，结果精确到） 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线，直线a、b与分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则的长为    三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，，满足且，试求，，的值． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中、已知，，，，求的长．    17．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 18．（20-21九年级上·安徽亳州·期中）如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值． 19．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长．    20．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 21．（20-21九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x． 22．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)的值为________； (2)求的值． 23．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． (1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 比例线段（二）（3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【例1】（2024•安徽模拟）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长的值最接近的是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据短边长与长边长的比为，长边的长为8，估算短边长的值，选择最接近的选项即可． 【解答】解：， 选项中最接近的数是5， 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟记“黄金分割率”、正确计算是解题的关键． 【变式1】（2024•合肥模拟）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ， 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【变式2】（2023秋•包河区期末）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则　　（结果保留根号）． 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，则，代入数据即可得出的长． 【解答】解：为线段的黄金分割点，，且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段原线段的． 【变式3】（2024•固镇县三模）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，，这个比值介于整数和之间，则的值是 　0　． 【分析】根据题意估算出的大小即可解决问题． 【解答】解：，，，且， ， ， 则． ， ， ， ． 故答案为：0． 【点评】本题考查黄金分割及估算无理数的大小，正确使用平方法对无理数的大小进行估算是解题的关键． 【变式4】（2023秋•淮北期中）如图，在中，，． （1）求作：的平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：点为线段的黄金分割点（即． 【分析】（1）根据作已知角的平分线的步骤作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知，再证，根据相似三角形的性质即可得证． 【解答】（1）解：的平分线交于点，如图所示： （2）证明：在中，，， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点为线段的黄金分割点． 【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 知识点2．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【例2】（2022秋•瑶海区校级期中）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ，； ， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案． 【变式1】（2020•涡阳县一模）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【变式2】（2023•庐阳区一模）正方形纸片中，，分别是、上的点，且，交于．若为中点，则　2　；若，则　　． 【分析】（1）连接，根据相似三角形计算即可； （2）把的角放到直角三角形中，所以过作所在直线，利用角平分线的性质求解即可． 【解答】解：（1）连接，如图1， 四边形是正方形， ，且， ，， ， ， 为中点， ； （2）过点作，交的延长线于点，如图2， 在中，， ，， ，， 即， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2；． 【点评】本题考查的是正方形的综合题，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线． 【变式3】（2023秋•庐阳区校级期末）如图，，，，，，求、的长． 【分析】由平行线分线段成比例解答即可． 【解答】解：， ， ，，， ，解得， ， ， ，解得． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段与已知条件中的线段之间的关系． 【变式4】（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 【分析】（1）由，得到，代入数据求得，于是得到结论； （2）设米，则，根据平行线分线段成比例定理得到，得到方程，求出，解一元二次方程即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， 米； （2）设米，则， ， ， ， ， 由题意得， 化简得 ， 解或． 经检验：或是原方程的根， 的长应设计为60或米． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 知识点3．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 【例3】（2023秋•青阳县期末）下列各组图形一定相似的是　　 A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【解答】解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误； 任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，正确； 任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，错误； 任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误； 故选：． 【点评】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 【变式1】（2020秋•望江县期末）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【解答】解：、，，、，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等． 【变式2】（2023秋•迎江区校级期中）如图，四边形四边形，，，，则　　． 【分析】根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【解答】解：四边形四边形， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是理解相似多边形的对应角相等． 【变式3】（大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，，，，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，求的面积． 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出是直角，求出的内切圆半径，进而的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出的边长，进而求出的面积． 【解答】解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长，交的延长线于点， 和对应的边的距离都为1， ，， ，， ， 即，同理， ， 观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ，， ， 新矩形于原矩形不相似， 观点二不正确； （2）如图（3），延长、交于点， 到、的距离都为1， 是的角平分线， 同理，是的角平分线， 点是的内心， ，，， 是直角三角形， 设的内切圆的半径为， 则， 解得， 过点作于点，交于， ， ， ， ， 同理， ，， 的面积为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的综合题，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键． 经典题型汇编 题型一、由平行判断成比例的线段 1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 正确的个数3个， 故选：C． 2．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的中线，E是上一点，且．连接并延长交于点F，过点A作//交的延长线于点G，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】∵AG//BC，AD= 4AE， ∴ ∵D为BC的中点， ∴BD=DC=BC， ∵AG// BC， ∴， ∴BE= 3(GF+ FE)， BF= 6GF， ∴6GF- EF= 3GF+ 3EF， ∴EF= GF， ∴GF: BE=4: 21， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 题型二、由平行截线求相关线段的长或比值 4．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，，，则的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握相关知识是解题关键．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例定理可得，进而解得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴，解得， ∴． 故选：B． 5．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，直线．若则的长为 ． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键． 由，得到，代入数据即可得到结果． 【详解】解：∵， 即： 故答案为：5.4． 6．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 题型三、黄金分割 7．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段原线段的．根据黄金分割点的定义，知是较长线段，则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：为线段的黄金分割点，，且， ． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级·安徽·阶段练习）下列各组种的四条线段成比例的是（　　） A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm 【答案】C 【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断． 【详解】解：A．，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意； B．，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意； C．，所以四条线段成比例，故C选项符合题意； D．，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 3．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足的作图中不正确的是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例依次判断即可． 【详解】解：A、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； B、作， 则，本选项作图不正确，符合题意； C、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； D、作， 则，本选项作图正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握此性质是解题关键． 4．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中． 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，从而得出答案． 【详解】解：∵点C把线段黄金分割，且， ∴， ∴． 故选：B． 5．（19-20九年级上·安徽合肥·阶段练习）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（    ） A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm 【答案】C 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：根据黄金分割点的概念得：． 故选：C． 【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．根据黄金分割的定义得出，即可得到答案． 【详解】解：C是线段的黄金分割点，， ， 故选D． 7．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（    ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】 本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，，则下列结论正确的是（        ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：， A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；     D. ∵，∴，即，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，那么（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：D． 10．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F．若，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据题意可得，即可求出的值，继而求出本题答案． 【详解】解：∵，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵， 故选：C． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽六安·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点 ∴ 故答案为： 12．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，已知l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF＝ ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝． ∵AB＝2，DE＝BC＝3， ∴＝， 解得：EF＝4.5， 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 13．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离A点至少 处．（，结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，设舞台靠近A点的黄金分割点为P，利用黄金分割比例为求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解；设舞台靠近A点的黄金分割点为P， 则， ∴， ∴主持人应走到离A点至少处， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线，直线a、b与分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，能够熟练运用其性质是解题的关键；根据平行线分线段成比例定理解答即可； 【详解】解：∵直线， 故答案为：4． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，，满足且，试求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，得出，，，根据，求出，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 解得：， ∴，，． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中、已知，，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，由题意得到即可求出的值，得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 17．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得； （2），， . ， ， 解得． 18．（20-21九年级上·安徽亳州·期中）如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值． 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段AC和（＞），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，由定义可得：设 求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，设， 点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞， ＞ ， 正方形,正方形 ， ：： ： ． 【点睛】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 19．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，、、分别是、上的点，且，，，，求和的长．    【答案】， 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代值求出，则，同理可得，由此求出，则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 20．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割比，分母有理化，解题关键是掌握黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．分两种情况讨论：①当时；②当时，利用黄金比分别列式求解，即可求出线段的长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； 综上可知，线段的长为或 21．（20-21九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x． 【答案】（1），，；（2） 【分析】根据，且，根据比例的性质可得a，b，c的值； （2）根据比例中项的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， ∴，，， ∴，，， （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键． 22．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)的值为________； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： 故 在和中 ∴（） ∴ ∴ 故答案为：1 （2）由（1）可知： ∴ 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理和全等三角形性质和判断，勾股定理，掌握这些是解本题关键． 23．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． (1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程 【答案】(1)见解析 (2)有，见解析 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，等量代换证明结论． （2）利用等面积法即可证明． 【详解】（1）证明：如图②，过C作，交BA的延长线于E， 则∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠DAC， ∴∠E＝∠ACE， ∴AC＝AE， ∵， ∴＝， ∴＝； （2）解：有其他的证明方法，理由如下： 过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥AB，过点D作DG⊥AC， ∵AD是∠BAC的角平分线， DF⊥AB，过点D作DG⊥AC， ∴DF=DG， ∵， ， ， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定，构造适当的辅助线证明线段成比例是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$