2.1 等式与不等式的性质（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.1.3 不等式的性质 等式有下面的性质： 性质1 如果＝b，b＝c，那么＝c； 性质2 如果＝b，那么±c＝b±c； 性质3 如果＝b，那么c＝bc； 性质4 如果＝b，c≠０，那么 . 类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？ 复习引入 两个实数之间不仅可以有相等关系，还可以有大小关系.对于两个实数a、b,如果b-a是正数，就称b大于a,记为 b>a;如果b—a是负数，就称b小于a,记为b<a;如果b-a是零，就称b等于a,记为b=a.这就是说，我们总做如下规定： b>a⇔b-a>0; b=a⇔b-a=0; b<a⇔b-a<0. 这是研究一切不等式的基础. 根据实数的大小关系，对任何两个给定的实数a、b,或者 a>b,或者a<b,或者a=b,三者中有且只有一种情况成立. 此外，若b>a或b=a,就称b大于等于a,记为b≥a;相应地， 若b<a或b=a,就称b小于等于a,记为b≤a. 大于号>,小于号<,大于等于号≥,小于等于号≤都称为不等号.用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式. 探究1：对称性 证明：∵，∴. 由正数的相反数是负数,得. 即∴. 同理可证,如果那么. 如果，那么.即 探究2：传递性 如果，，那么.即， 证明： 探究3：可加性 不等式两边同时加上同一个实数，不变号 证明：∵, ∴. 如果，那么 探究4：可乘性 如果，，那么； 不等式两边同时乘上一个正数，不变号； 证明：ac-bc=(a-b)c.∵a>b，∴a-b>0. 根据同号相乘得正，异号相乘得负, 得当c>0时，(a-b)c>0，即ac>bc；当c<0时，(a-b)c<0，即ac<bc. 1. 该性质不能逆推， 如c>bc >b. 2.c>bc⇒>b，c>0或 a<b，c<0. 3. 不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数. 注意： 如果，，那么 不等式两边同时乘上一个负数，要变号 . 探究5：同向可加性 如果，,那么 如果，,那么 如果，,那么 探究6：同向同正可乘性 如果， ，那么 探究7：同正可乘方性 如果，那么 拓展：不等式中的倒数性质 名称 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c _______ 可加性 a>b⇔a＋c b＋c _____ 可乘性 a>b，c>0⇒______ a>b，c<0⇒______ c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒__________ 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒______ 同向 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N，n≥2) 同正 < 不可逆 可逆 > ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd > D 练一练 D 已知a、b为正数，n为正整数，求证：如果an>bn>0,那么a>b. 证明 利用反证法. 首先根据实数的性质可知，在a>b,a<b及a=b三者中有且仅有一个成立.假定结论a>b不成立，那么或者成立a<b,或者成立a=b.如果a<b,由于a、b都是正数，利用不等式的同正可乘方性，两边n次乘方，得an<bn,与假设an>bn矛盾；如果a=b,两边n次方得an=bn,同样与假设an>bn矛盾. 综上所述，不可能成立a≤b,因此a>b. 利用反证法证明 练一练 课堂练习 B A A C B 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 1．对于实数 ，下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 2．已知 且 ，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系． 用不等式(组)表示不等关系 【解】　(1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408. 故填72＋12x＞408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)． 因此菜园面积S＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))， 依题意有S≥110，即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110.)) eq \a\vs4\al( ) 利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　 【解】　(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 当x≤1时，有x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1. 当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0， 所以3x3>3x2－x＋1. 　(1)比较3x3与3x2－x＋1的大小． (2)已知a≥1，试比较M＝eq \r(a＋1)－eq \r(a)和N＝eq \r(a)－eq \r(a－1)的大小． 数(式)大小的比较 (2)因为a≥1， 所以M＝eq \r(a＋1)－eq \r(a)>0，N＝eq \r(a)－eq \r(a－1)>0. 所以eq \f(M,N)＝eq \f(\r(a＋1)－\r(a),\r(a)－\r(a－1))＝eq \f(\r(a)＋\r(a－1),\r(a＋1)＋\r(a)). 因为eq \r(a＋1)＋eq \r(a)>eq \r(a)＋eq \r(a－1)>0， 所以eq \f(M,N)<1，所以M<N. eq \a\vs4\al( ) 利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．　 (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． [注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 　(1)对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b). 不等式的基本性质 【解】　(1)①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确． ②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确． ③中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b，,a<0))⇒a2>ab，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜b，,b<0))⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，故③正确．故填②③. (2)证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为c>a，所以c－a>0，所以0<c－a<c－b. 上式两边同乘eq \f(1,（c－a）（c－b）)，得eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)>0. 又因为a>b>0，所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b). eq \a\vs4\al( ) 利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．　 【解】　(1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. 　已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 利用不等式性质求代数式的取值范围 1．已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).)) 即3x＋2y＝eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)， 又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3， 所以－eq \f(5,2)<eq \f(5,2)(x＋y)<10，1<eq \f(1,2)(x－y)<eq \f(3,2)， 所以－eq \f(3,2)<eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)<eq \f(23,2)， 即－eq \f(3,2)<3x＋2y<eq \f(23,2). eq \a\vs4\al( ) 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． [注意]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．　 1．设 ，若 ，则（    ）. A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 且 ，则 D．若 ，则 3．已知 ,则“ ”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5． 是 的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 $$