2.1 等式与不等式的性质（第2课时）（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

2.1等式与不等式的性质（第2课时） 题型1：由已知条件判断所给不等式是否正确 1．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．对于实数a、b、c，有下列命题： ①若a＞b，则； ②若a＞b，则； ③若a＜b＜0，则； ④若a＜b＜0，则； ⑤若a＜b＜0，则； ⑥若，则ac＜bd. 其中，假命题的序号为 .（写出所有满足要求的命题序号） 3．如果a､b､，那么下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．下列各式中，不能判断其符号的是（    ） A． B． C． D． 题型2：由不等式的性质比较数（式）的大小 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．由a的取值确定 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 ，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型3：用不等式表示不等关系 9．下列说法正确的为（    ） A．与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃” 10．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 11．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： ．（不用化简） 12．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组： ． 题型4：作差法比较代数式的大小 13．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 14．设，则（   ） A． B． C． D． 15．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（    ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 17．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖（，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（    ） A． B． C． D． 18．比较下列各题中两个代数式值的大小： (1)与； (2)与． 题型5：作商法比较代数式的大小 19．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 20．如果，，那么，，从小到大的顺序是 21．，则的大小关系为 ． 题型6：由不等式的性质证明不等式 22．用综合法证明:如果，那么 23．证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． 24．已知，，，求证： (1)； (2). 25．设，，，，，证明：． 26．阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 题型7：由不等式的性质确定取值范围 27．实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 28．已知，，求的取值范围． 题型8：用反证法证明不等式 29．（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 30．（1）已知实数，满足，求证：. （2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立. 一、填空题 1．已知，则的取值范围是 ． 2．设，则中等号成立的充要条件是 ． 3．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 4．对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 5．已知三角形的三边长分别为，有以下个命题： ①以为边长的三角形一定存在； ②以为边长的三角形一定存在； ③以为边长的三角形一定存在； ④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有 （填写所有正确命题的序号）. 6．已知，且，则的取值范围是 . 二、单选题 7．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（    ） A．路口 B．路口 C．路口 D．路口 三、解答题 9．给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式与不等式的性质（第2课时） 题型1：由已知条件判断所给不等式是否正确 1．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断四个选项的正误即可得正确选项. 【解析】对于选项A：若，则，故选项A正确； 对于选项B：，因为，所以， 即，所以，故选项B不正确； 对于选项C：若，则，故选项C正确； 对于选项D：若，则，故选项D正确， 故选：B 2．对于实数a、b、c，有下列命题： ①若a＞b，则； ②若a＞b，则； ③若a＜b＜0，则； ④若a＜b＜0，则； ⑤若a＜b＜0，则； ⑥若，则ac＜bd. 其中，假命题的序号为 .（写出所有满足要求的命题序号） 【答案】①②④⑤⑥ 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，逐一验证，可得答案. 【解析】对于①，当时，，故①错误； 对于②，当时，不等式无意义，当时，由，可得，故②错误； 对于③，由，则，，即，故③正确； 对于④，由，根据不等式的倒数性质，则，故④错误； 对于⑤，，由，则，即，，所以，故⑤错误； 对于⑥，由，根据不等式的性质，可得，故⑥错误. 故答案为：①②④⑤⑥. 3．如果a､b､，那么下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【解析】解：对于A，若,不成立，错误 对于B，因为在分母位置，即，两边同乘，得到，正确 对于C，，满足，无意义，错误 对于D， ，满足若，，不成立，错误 故选：B 4．下列各式中，不能判断其符号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法可判断AB；利用绝对值的定义可判断C，利用特值法可判断D. 【解析】，故A正确； ，故B正确； 当时，；当时，，故C正确； 当时，；当时，；当时，，则的值可正，可负，也可能为0，故D错误. 故选：D. 题型2：由不等式的性质比较数（式）的大小 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质可得答案. 【解析】由，有，可得. 故选：C 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，结合即可求解. 【解析】由题意知：，又，则，显然异号， 又，所以. 故选：B. 7．若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．由a的取值确定 【答案】A 【分析】由题可得，，进而比较与即可. 【解析】显然P，Q都是正数， 又， ， 若a是负数，则，，所以； 若a是非负数，则，，所以． 综上所述，． 故选：A． 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 ，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例，取，可判断 ,取可判断B；根据不等式性质可判断D. 【解析】取 ，满足，但，A错误； 当 ，若，则，B错误； 取 ，满足，但，C错误； 若，则 ，故， 所以，故D正确， 故选:D. 题型3：用不等式表示不等关系 9．下列说法正确的为（    ） A．与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃” 【答案】C 【分析】ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达. 【解析】对于A，应表示为“”， 对于B，应表示为“”， 对于D，应表示为“7℃13℃”， 故A，B，D错误． 故选：C． 10．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据工资预算以及工人工资列出不等式. 【解析】依题意，请工人满足的关系式是， 即. 故选：D 11．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： ．（不用化简） 【答案】 【分析】设这个学生答对了x道题，则答错（20-1-x）道题，根据得分=5×答对题目数-1×答错题目数结合得分在80以上，即可得出关于x的一元一次不等式． 【解析】这个学生至少答对x题，则答错（20-1-x）道题，由得分规则成绩不低于80分，即． 故答案为： 12．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组： ． 【答案】 【分析】由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得． 【解析】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以 故答案为： 题型4：作差法比较代数式的大小 13．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. 【解析】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 显然， ，所以最大， 由可得，， 所以，即 可得. 故选：D 14．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法即得. 【解析】因为 恒成立， 所以． 故选：A. 15．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项； 通过作差法，，确定符号，排除C选项； 通过作差法，，确定符号，排除A选项； 【解析】由，且，故； 由且，故； 且，故. 所以， 故选：B. 16．设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（    ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【答案】C 【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系. 【解析】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2， 由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3， 所以y1＞y2＞y3， 故选：C. 17．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖（，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法比较. 【解析】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜， 所以糖水的浓度 ， 再添加m克糖，即浓度， 将糖水变甜．则， 因为，， 所以， 故选：B 18．比较下列各题中两个代数式值的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法得出大小关系. 【解析】（1） 因为，所以，当且仅当时，取等号. 即 （2） 因为，所以，当且仅当时，取等号. 故. 题型5：作商法比较代数式的大小 19．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【解析】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 20．如果，，那么，，从小到大的顺序是 【答案】 【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。 【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 故答案为： 【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。 21．，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【解析】因为， 则 由 所以 故答案为： 题型6：由不等式的性质证明不等式 22．用综合法证明:如果，那么 【答案】证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【解析】证明: ，即 显然 ，即. 23．证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明． 【解析】（1）证明：，， ，， 又因为，即， 所以. （2）证明：，，； 又，，； . 24．已知，，，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据不等式的性质证明即可； （2）结合（1）和不等式的性质求解. 【解析】（1）证明：因为，， 所以 所以； （2）证明：由（1）得， 又，所以. 25．设，，，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意证明，进而通分，结合已知条件即可证明. 【解析】证明：因为，所以． 又，所以， 所以． 因为，，， 所以． 26．阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答. 【解析】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ， 所以原不等式成立. 题型7：由不等式的性质确定取值范围 27．实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得； （2）求出，再利用不等式的性质得解. 【解析】（1）解：由，， 则，所以，所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）解：设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 28．已知，，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，解得、，则，再根据不等式的性质计算可得. 【解析】解：令，解得， ∴， ∵，∴①， ∵，∴②， ①②，得， ∴． 题型8：用反证法证明不等式 29．（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【分析】（1）利用反证法证明即可； （2）用作差法判断即可 【解析】（1）假设且，则，与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或． （2）， 当时，， 当时，， 当时，． 30．（1）已知实数，满足，求证：. （2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立. 【答案】证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小即可证明；（2）利用反证法结合不等式性质证明即可. 【解析】（1） ，因为，所以，所以； （2）假设结论不成立，即有且，由已知，实数，为正数， 所以有且，故，所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以有和中至少有一个成立. 一、填空题 1．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将改写成的形式，利用不等式性质即可求得其范围为. 【解析】可令， 即，解得， 所以， 又，所以， 即，可得； 所以的取值范围是. 故答案为： 2．设，则中等号成立的充要条件是 ． 【答案】且. 【分析】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可. 【解析】由题设，， ∴要使等号成立，则且， 当且时，有，即成立. 综上，且是中等号成立的充要条件. 故答案为：且. 3．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 【答案】112 【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可. 【解析】由得，，即. 又由整数k的唯一性知，，解得， 而时，，，满足的整数k只有97，故符合. 故答案为：. 4．对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助换元法，令，则原不等式可化为，化简可得，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，结合，数形结合即可得解. 【解析】恒成立，恒成立， 令且， ，且恒成立， ， ， 又表示点到的距离， 表示点到的距离，， 即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于， 当最小时，即且， 此时， 又，可取， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 5．已知三角形的三边长分别为，有以下个命题： ①以为边长的三角形一定存在； ②以为边长的三角形一定存在； ③以为边长的三角形一定存在； ④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有 （填写所有正确命题的序号）. 【答案】①③④ 【分析】设，再利用构成三角形的条件及不等式的性质，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【解析】不妨设， 对于选项①，因为，所以， 又，所以选项①正确， 对于选项②，若，满足条件，但，不构成三角形，所以选项②错误； 对于选项③，由假设易知，由，所以选项③正确， 对于选项④，因为， ， ，所以选项④正确， 故答案为：①③④. 6．已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解. 【解析】由可得：， 令，整理可得：， 所以，解得：， 所以， 将两边同时乘以，可得，① 将两边同时乘以，可得，② 两式相加可得： ， 即， 因为，所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 二、单选题 7．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案. 【解析】因为，所以，，所以， 所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：A 8．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（    ） A．路口 B．路口 C．路口 D．路口 【答案】B 【分析】 根据给定图形，用表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，比较大小作答. 【解析】观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点， 令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为， ， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 路口为中转站时，距离总和， 显然，所以这个中转站最好设在路口. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及实际问题中的大小比较，根据实际意义设元，列式表示出相关量，再用不等式的相关性质比较即可. 三、解答题 9．给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用反证法，因，又，故可分，与证明. 【解析】（1）由题意可知，，所以bc＞ad， 所以，所以， ，所以， 所以； （2）证明：由（1） ，又 若 假设①；②；③都成立， ①③之和可得：④， ②③之和可得：⑤， ④化简得，⑤化简得， 由④⑤之和可得：， 即，则， 又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立 若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立； ①；②；③ 所以三个不等式中至少有一个不成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$