专题03利用二次函数解决问题的四种类型-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题03利用二次函数解决问题的四种类型 题型01建立平面直角坐标系解决问题 类型一拱桥（隧道问题） 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 【例1-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）水清，岸绿，景美的沁阳滨河公园有一座美丽的抛物线形彩虹桥．某校综合实践活动小组通过测量，测得该桥跨度为40米，最高点到地面的距离为6米，支撑桥的是一些等距立柱．    (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若两根支撑柱，的高度均为4米，求这两根支撑柱之间的水平距离． 【变式1-3】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是时，水面距离拱顶高度是．当水面下降后，水面宽度比之前多多少？结合上图已建立的坐标系，解决实际问题 类型二建筑物问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图是一个长为3米、宽为1米的矩形隔离栏（），中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A、点B在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（）与第2根栏杆未涂色部分（）长度相等，则的长度是 米． 【例2-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期中）某广告公司设计一幅周长为米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米元．设矩形一边长为，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)设计费能达到元吗？如果能请求出此时的边长，如果不能请说明理由； (3)当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 【例2-3】（23-24九年级上·浙江温州·期末）综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）某街道两侧路灯的灯杆由直杆与弯臂组成，弯臂下端连着直杆，上端安装射灯．弯臂可以近似地看成抛物线的一部分．如图所示， 以直杆所在直线为y 轴， 地面水平线为x 轴建立直角坐标系，测得直杆米， 抛物线段为弯臂，射灯B 距地面的高度米， 弯臂的最高点为 C，为射灯 B 发射的光线，若点 C，B ，D 在同一直 线上， 且米，，则弯臂最高点 C 离地面距离为 米．    【变式2-2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示，钢缆的最低点到桥面的距离为，两条钢缆最低点间的距离为． (1)求a，b； (2)计划在两钢缆上，距离桥面高的位置安装装饰物，求右侧钢缆上两装饰物之间的距离？ 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江台州·期末）某游乐场将修建一款大型过山车．下图为这款过山车的一部分轨道设计图，为笔直轨道，为第一段抛物线轨道，为第二段抛物线轨道（接口处轨道忽略不计为均为抛物线顶点），在同一直线上且平行于地面，为米，若以点为原点，地面水平线为轴，点竖直方向为轴，以米为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点为，点为． (1)设第一段抛物线轨道函数解析式为，请求出该函数解析式； (2)设计规定点离地距离需在到米之间（含米和米），请求出点横坐标的范围； (3)在（）（）的基础上，取最高点，已知第二段抛物线轨道函数为，为保证安全，抛物线轨道最低点不低于米，请确认第二段抛物线轨道是否符合要求，并说明理由． 类型三物体运动类问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，则当时，小球的高度为 （    ） A． B． C． D． 【例3-2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手米，铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4米处（即），最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． (1)求铅球所经过路线的函数表达式． (2)铅球的落地点离运动员有多远？ 【例3-3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，排球场的边界点到点的水平距离，中点处立有高度为的排球网，为延长线上的点，且，处安装有发球机，球从点正上方的处发出．以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系．球每次发出后的运动路径都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点到轴的距离总是保持，竖直最大高度总是比出球点高出． (1)当球发出高度时， ①求排球运动路径抛物线的函数表达式． ②排球能否越过球网？请说明理由． (2)点在线段上，且．若球发出去后，落在点与点之间（不包括，，请求出发球机出球高度的取值范围． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 【变式3-2】（22-23九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？    【变式3-3】（23-24九年级上·河北承德·期末）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线 (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值． 题型02建立二次函数模型解决几何最值问题 类型一利用二次函数解决图形高度的最值问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 米 【例4-2】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【例4-3】（23-24九年级上·北京密云·期中）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示，已知篮球出手位置A距地面的高度为，与篮筐B的水平距离为，当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为．    (1)结合图中所建平面直角坐标系：直接写出篮球出手位置A的坐标为______，篮球行进的最高点C的坐标为______； (2)求篮筐距离地面的高度． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距高为m时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 m． 【变式4-2】（23-24九年级上·广东中山·期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为米，拱高米，跨度米，相邻两支柱间的距离均为米，则支柱的高度为多少米？ 【变式4-3】（23-24九年级上·山西吕梁·期中）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？      类型二利用二次函数解决图形面积的最值问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【例5-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线的图像与轴交于点，点，与轴交于点，且． (1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点的坐标； (2)若点为第一象限内抛物线上一点，求点坐标为多少时，的面积最大，并求出这个最大面积． 【例5-3】（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知抛物线经过点三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 【变式演练】 【变式5-1】（2023九年级下·安徽·专题练习）已知二次函数（m为常数且），该函数恒过定点A，且与直线交于点B、C． （1）定点A的坐标为 ； （2）面积的最小值为 ． 【变式5-2】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【变式5-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，），与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值． 题型03建立二次函数模型解决动点探究问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，在第三象限的抛物线上有一动点，连接、，点在运动过程中，若面积最大时，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ． 【例6-3】（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）在矩形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿向点移动；同时点从点出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为秒，设的面积为，用含的函数关系式表示；当为何值时，有最小值？并求出最小值． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，交轴于． (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方的抛物线上的一个动点，设的横坐标为，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值及点的坐标． 【变式6-3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 题型04建立二次函数模型解决作决策问题 类型一几何问题中的决策 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）为增加单位绿地面积，某单位要建一个矩形花圃，如图1，花圃一面用墙（墙长），其余三面用篱笆围成，篱笆总长．    (1)若花圃的面积为，求的长； (2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，围成的花圃面积能达到吗？如果能求的长；如果不能，请说明理由． 【例7-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，杭州亚运会某场馆的运动员休息区是用长14米的挡板，再借助一段墙（墙足够长），围成的矩形，并在边上留一个1米宽的门． (1)当休息区的长和宽分别为多少米时，休息区的面积为25平方米？ (2)休息区的面积能达到30平方米吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【例7-3】（22-23九年级上·辽宁营口·期中）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米． (1)若设米，则可表示为 ； (2)问所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，说明理由； (3)检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，请求出能围出的最大面积是多少？ 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，用长为9m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）． (1)求出y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） (2)能否使窗的透光面积达到3平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，请说明理由． 【变式7-2】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【变式7-3】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． (1) ；（用含的代数式表示） (2)若生态园的面积为，求的值； (3)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 类型二实际问题中的决策 【典例分析】 【例8-1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【例8-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． (1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； (2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？ 【例8-3】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外，某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为150kg，6月份销售量为216kg，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该款火腿销售量的月增长率； (2)若该款火腿的进价为120元/kg，经在市场中测算，当售价为160元/kg时，月销售量为200kg，若在此基础上售价每上涨1元/kg，则月销售量将减少2kg，为使月销售利润达到9000元，则该款火腿的实际售价应定为多少？ (3)在（2）的基础上，为使月销售利润达到最大，则该款火腿的实际售价应定为多少？此时，月销售最大利润是多少？（利润=售价-进价） 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·吉林通化·期末）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 90 每天销量（件） (1)求出y与x的函数关系式 (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案． 【变式8-2】（23-24九年级上·广东梅州·期末）某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ (3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？ 【变式8-3】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱成功着陆，三位航天员平安归来，神舟十六号任务取得圆满成功，某飞箭航模店看准商机，推出成本为每件元的“神舟”模型．经调查，如果按每件元出售，每月可销售件．如果每降价元，月销售量就会增加件． (1)若月销售利润要达到元，且让利于顾客，则该“神舟”模型的销售单价应定为多少元? (2)当销售利润定为多少元时，月销售利润最大?最大利润是多少元? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03利用二次函数解决问题的四种类型 题型01建立平面直角坐标系解决问题 类型一拱桥（隧道问题） 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升7米时，代入解析式求出x即可． 【详解】∵米， ∴当时，． 当水位上升7米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米． 故选：D． 【例1-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 【答案】(1)； (2)这些木板最高可堆放米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）可令O为坐标原点，平行于的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为，由题意可得B点的坐标为，由此可求出抛物线的函数关系式． （2）当时，求得的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得B点坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴木板最高可堆放(米) 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：，抛物线的顶点到的距离为， ，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， 抛物线表达式为． 故选：D． 【变式1-2】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）水清，岸绿，景美的沁阳滨河公园有一座美丽的抛物线形彩虹桥．某校综合实践活动小组通过测量，测得该桥跨度为40米，最高点到地面的距离为6米，支撑桥的是一些等距立柱．    (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若两根支撑柱，的高度均为4米，求这两根支撑柱之间的水平距离． 【答案】(1) (2)m 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用二次函数解决实际问题建立坐标系得出点的坐标是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： 将代入解析式， 得： 解得： 该抛物线的解析式为：． （2）令，有解得： 这两根立柱之间的距离是 【变式1-3】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是时，水面距离拱顶高度是．当水面下降后，水面宽度比之前多多少？结合上图已建立的坐标系，解决实际问题 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题时要建立合适的坐标系，学会用待定系数法求出方程的解析式． 先建立直角坐标系，设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式，由题意水面下降后，将值代入解析式，求解即可得到水面下降后，水面宽度，从而可求解． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系，设水面下降前与y轴交于点C，抛物线与水面交于点B，水面下降后，抛物线与水面交于点C、D， 根据题意，得， ， 当水面下降后，则C、D的纵坐标为， 设抛物线的函数关系式为：， 把代入，得， 解得：， ∴ 把代入，得， 解得：，， ∴，， ∴水面下降后，水面宽度为， ∴水面下降后，水面宽度比之前多了 类型二建筑物问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图是一个长为3米、宽为1米的矩形隔离栏（），中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A、点B在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（）与第2根栏杆未涂色部分（）长度相等，则的长度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的关键．设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，先分别将点B和点A的坐标代入，求得c的值并用a表示b，设，用含m的式子分别表示出点E和点P的坐标，代入解析式，从而得出关于a和m的方程组，求解即可． 【详解】解：设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设抛物线解析式为：， 将代入得：， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 将点E和点P坐标分别代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴米， 故答案为：． 【例2-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期中）某广告公司设计一幅周长为米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米元．设矩形一边长为，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)设计费能达到元吗？如果能请求出此时的边长，如果不能请说明理由； (3)当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 【答案】(1) (2)能，或米 (3)当米时，设计费最多，最多是元 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用、解一元二次方程、求二次函数最值，解题关键是理解题意． （1）根据题意可得矩形另一边长为米，则可由矩形面积公式求得与之间的函数关系式及的取值范围； （2）先算出设计费为元时矩形面积，再将矩形面积代入得到一元二次方程后求解即可； （3）利用配方法求得最大值后即可求得设计费的最大值． 【详解】（1）解：矩形的一边为米，周长为米， 另一边长为米， ，其中， 即． （2）解：能， 当设计费为元时，面积为（平方米）， 即：， 解得：或， 设计费能达到元， 此时的边长为或米． （3）解：， 当时，， 当米时，矩形的最大面积为平方米， 此时设计费最多，最多是元 【例2-3】（23-24九年级上·浙江温州·期末）综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 【答案】(1)2米 (2)见解析 (3)2.675m或2.325m 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据对称性求解即可； （2）以点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件可求对称轴为，设顶点式为，把、代入求解即可； （3）把，分别代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：由中心对称性得：米，由轴对称性得：米． 即图2中点到该结构最低点的水平距离为2米； （2）解：以点为原点，按如图形式建立直角坐标系， 由条件得，过、，对称轴为， 设顶点式为， 将、代入得， 解得：，， ； （3）解：，    情况①：当时，，    情况②：将时，，    综上，挡风板的高度为2.675m或2.325m 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）某街道两侧路灯的灯杆由直杆与弯臂组成，弯臂下端连着直杆，上端安装射灯．弯臂可以近似地看成抛物线的一部分．如图所示， 以直杆所在直线为y 轴， 地面水平线为x 轴建立直角坐标系，测得直杆米， 抛物线段为弯臂，射灯B 距地面的高度米， 弯臂的最高点为 C，为射灯 B 发射的光线，若点 C，B ，D 在同一直 线上， 且米，，则弯臂最高点 C 离地面距离为 米．    【答案】9 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，数形结合是解题的关键．设抛物线的解析式为，求出点A的坐标是，则，设，，作交于点F，交于点E，证得和是等腰直角三角形，则，得到，，求出直线的解析式为，把点B的坐标代入得，整理得，设点C的坐标为，则，，进一步即可得到弯臂最高点 C 离地面距离． 【详解】解：由题意可知，弯臂近似地看成抛物线的一部分， ∴可设抛物线的解析式为， ∵， ∴点A的坐标是， ∴， ∵，，， ∴可设，， 作交于点F，交于点E，    ∵， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点 C，B ，D 在同一直 线上， 设直线的解析式为，把，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点B在抛物线上，代入抛物线的解析式得到 ， 整理得到， 设点C的坐标为，在直线上， ∴，， 解得或 当时，，， ∴点C的坐标为，与重合，矛盾，不合题意舍去， 当时，，， ∴点C的坐标是， 即弯臂最高点C离地面距离为米． 故答案为：9 【变式2-2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示，钢缆的最低点到桥面的距离为，两条钢缆最低点间的距离为． (1)求a，b； (2)计划在两钢缆上，距离桥面高的位置安装装饰物，求右侧钢缆上两装饰物之间的距离？ 【答案】(1)， (2)侧钢缆上两装饰物之间的距离 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的顶点坐标求法是解决此题的关键． （1）依据题意，利用待定系数法即可求解； （2）依据题意，右边抛物线的顶点为(20,2)，从而可设右边抛物线为，又过点，进而可得右边抛物线为，再令，最后可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，左边抛物线的顶点为， 又抛物线为， ，， 解得：，； （2）由题意，右边抛物线的顶点为， 可设右边抛物线为 又过点， ， ， 右边抛物线为， 令， ， 解得：或， ， 距离桥面高的位置安装装饰物，则右侧钢缆上两装饰物之间的距离为 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江台州·期末）某游乐场将修建一款大型过山车．下图为这款过山车的一部分轨道设计图，为笔直轨道，为第一段抛物线轨道，为第二段抛物线轨道（接口处轨道忽略不计为均为抛物线顶点），在同一直线上且平行于地面，为米，若以点为原点，地面水平线为轴，点竖直方向为轴，以米为一个单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点为，点为． (1)设第一段抛物线轨道函数解析式为，请求出该函数解析式； (2)设计规定点离地距离需在到米之间（含米和米），请求出点横坐标的范围； (3)在（）（）的基础上，取最高点，已知第二段抛物线轨道函数为，为保证安全，抛物线轨道最低点不低于米，请确认第二段抛物线轨道是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)第二段抛物线轨道不符合要求，理由见解析． 【分析】（）由为抛物线顶点，点为，可得，把代入计算即可求解； （）分别求出和时点对应的横坐标即可求解； （）利用待定系数法求出第二段抛物线轨道函数解析式，求出顶点坐标即可判断； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为抛物线顶点，点为， ∴，， ∴第一段抛物线轨道函数解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴第一段抛物线轨道函数解析式为； （2）解：由（）得， 当时，， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴； 当时，， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴； ∴点横坐标的范围为； （3）解：第二段抛物线轨道不符合要求，理由： ∵， ∴第二段抛物线轨道函数为， ∵取最高点， ∴， ∵在同一直线上且平行于地面，为米， ∴， 把，代入得， ， ， ∴第二段抛物线轨道函数为， ∴第二段抛物线轨道的顶点的坐标为， ∵， ∴第二段抛物线轨道不符合要求 类型三物体运动类问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，则当时，小球的高度为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．由待定系数法求得函数解析式，再将代入计算，即可求解． 【详解】 解：设函数解析式为， 将代入得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时， ， 即小球的高度为 故选：D 【例3-2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手米，铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4米处（即），最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题． (1)求铅球所经过路线的函数表达式． (2)铅球的落地点离运动员有多远？ 【答案】(1)(2)10米 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解题的关键是求出解析式； （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求出解析式即可； （2）由（1）中方程的解可以得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：点坐标为，点坐标为，且为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：令，则， ， 解得或（因为点在轴正半轴）， 点坐标为， ， 铅球的落地点离运动员有10米远， 答：铅球的落地点离运动员有10米远 【例3-3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，排球场的边界点到点的水平距离，中点处立有高度为的排球网，为延长线上的点，且，处安装有发球机，球从点正上方的处发出．以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系．球每次发出后的运动路径都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点到轴的距离总是保持，竖直最大高度总是比出球点高出． (1)当球发出高度时， ①求排球运动路径抛物线的函数表达式． ②排球能否越过球网？请说明理由． (2)点在线段上，且．若球发出去后，落在点与点之间（不包括，，请求出发球机出球高度的取值范围． 【答案】(1)①；②排球能越过球网，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键． （1）①依据题意，对称轴是直线，结合，，进而可以得解； ②依据题意，由是的中点，从而，故，进而结合①将代入解析式可以得解； （2）依据题意，抛物线形状相同，顶点距离轴距离不变，可设过的抛物线，又为，从而求出后，即可得解． 【详解】（1） 解：①由题意得，对称轴是直线． 可设． 又，， ，． ，． ，． 所求函数表达式为； ②排球能越过球网．理由如下： 由题意，是的中点， ． ． 令代入解析式， ． 又排球网为， 排球能越过球网． （2） 解：由题意，抛物线形状相同，顶点距离轴距离不变，可设过的抛物线， 又为， ． ． 令，则． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根与，即时所用的时间， ∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是1s或3s，故A不符合题意； ， ∴对称轴直线为：，最大值为20，故D不符合题意； 时，，此时小球继续下降，故B不符合题意； ∵当时，，， ， ∴小球从飞出到落地要用4s，故C符合题意． 故选：C． 【变式3-2】（22-23九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？    【答案】8米 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为，A点坐标为，根据顶点坐标设二次函数解析式为，把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析式，令，求出x的正值即为铅球投掷的成绩． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，    ∵铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为米， ∴顶点坐标为，A点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 解得：（舍去）， ∴小丁此次投掷的成绩是8米． 【变式3-3】（23-24九年级上·河北承德·期末）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线 (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值． 【答案】(1)，， (2)或0或1或2 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）根据解析式可求出的最高点坐标为，再由待定系数法求出函数表达式，求出a和c即可； （2）将点A、D的坐标分别代入的函数表达式，求出n即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的最高点坐标为； 由题意得：点A、D的坐标分别为：， 将点D的坐标代入函数的表达式得：． 解得：， ∴的表达式为：， 当时，； （2）解：由（1）得：， ∴的函数表达式为：， ∵点A、D的坐标分别为：， 将点A、D的坐标分别代入的函数表达式得： ，解得：， ，解得：， ∴当时，羽毛球沿路线飞行落在之间， ∴符合条件的n的整数值为或0或1或2． 题型02建立二次函数模型解决几何最值问题 类型一利用二次函数解决图形高度的最值问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 米 【答案】25 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．依据题意，把点的横坐标代入解析式可得点的纵坐标，即点的纵坐标，用29.23减去点的纵坐标即可． 【详解】解：， 将代入可得． ， （米． 故答案为：25 【例4-2】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米 【例4-3】（23-24九年级上·北京密云·期中）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示，已知篮球出手位置A距地面的高度为，与篮筐B的水平距离为，当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为．    (1)结合图中所建平面直角坐标系：直接写出篮球出手位置A的坐标为______，篮球行进的最高点C的坐标为______； (2)求篮筐距离地面的高度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可； （2）设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入，求出解析式，对应的y值即为篮筐距离地面的高度． 【详解】（1）解：由题意知，点A的坐标为，点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， ， 将代入，得：， 即篮筐距离地面的高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距高为m时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，先求出点的坐标，把点B的横坐标代入解析式可得点B的纵坐标，即点C的纵坐标，用减去点的纵坐标即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴将代入， 解得， ∴， ∴(m)． 故答案为： 【变式4-2】（23-24九年级上·广东中山·期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为米，拱高米，跨度米，相邻两支柱间的距离均为米，则支柱的高度为多少米？ 【答案】支柱的长度是米． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设拱桥两端分别为点、，拱桥顶端为点，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系，求出二次函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设拱桥两端分别为点、，拱桥顶端为点，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系，如图，设解析式为， 根据题意，、、的坐标分别是、、， 将、的坐标代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式是， 令得， ∴支柱的长度是（米） 【变式4-3】（23-24九年级上·山西吕梁·期中）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？      【答案】篮球在该运动员出手时的高度为2.25米 【分析】本题考查了二次函数的应用．正确求解二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式为， 将，代入计算求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴该抛物线的解析式为， 当时，， 答：篮球在该运动员出手时的高度为2.25． 类型二利用二次函数解决图形面积的最值问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用；根据解析式得出抛物线的顶点为，当最大时，的面积最大，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线 该抛物线的顶点为 当最大时，的面积最大， 当时，最大为，即为时的面积最大 故选：A 【例5-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线的图像与轴交于点，点，与轴交于点，且． (1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点的坐标； (2)若点为第一象限内抛物线上一点，求点坐标为多少时，的面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2)点M的坐标为，面积的最大值为4 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、二次函数和一次函数的综合，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据题意可知、、的坐标，再将其代入中，利用待定系数法即可求解得，即可求解； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点M作轴交直线于点M，交x轴于点N，设M点的坐标为，则P点的坐标为，可得，可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 把代入得：， ∴抛物线变为：， 把点、点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴这个二次函数图象的顶点D的坐标为； （2）设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示：过点M作轴交直线于点M，交x轴于点N， 设M点的坐标为，则P点的坐标为， ∴ ∴， ∴当时，面积的最大值为4． 当时，， 此时点M的坐标为． 【例5-3】（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知抛物线经过点三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，△BNC的面积最大为 【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）用，即可得出结果； （3）根据的面积等于，列出二次函数解析式，求值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴抛物线的解析式：； （2）设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴； （3）存在， ， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为 【变式演练】 【变式5-1】（2023九年级下·安徽·专题练习）已知二次函数（m为常数且），该函数恒过定点A，且与直线交于点B、C． （1）定点A的坐标为 ； （2）面积的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】（1）利用，即可求得A的坐标； （2）将二次函数与一次函数联立方程组求得B、C的坐标，直接利用面积公式和二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， 当时，， 解得：， ∴定点A的坐标为：； （2）联立， 解得：或， ∴， ∴ ， ∵且， ∴当时，S随m的增大而增大， ∴当时，S有最小值，最小值为：， ∴面积的最小值为 3． 故答案为：；3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的特征以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键 【变式5-2】．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，8 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来． （1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为（m，），，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， 设抛物线表达式为：， 将C代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）连接，设点P坐标为． ∵、，， 可得：，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8 【变式5-3】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，），与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的面积问题； （1）根据题意得出，设抛物线解析式为，将点代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，求得直线的解析式为，设，则，表示出，进而根据三角形的面积公式求得，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，对称轴为． ∴， 设抛物线解析式为，将点代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， ∵，， 设直线的解析式为，将代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为 题型03建立二次函数模型解决动点探究问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，在第三象限的抛物线上有一动点，连接、，点在运动过程中，若面积最大时，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线中三角形的面积，二次函数最值，过点作轴于点，设点，则面积，利用最值即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】如图， 过点作轴于点，设点， ∴的面积， ， ， ， ， ∵长度不变， ∴当时，的面积最大， 此时， 故选： 【例6-2】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 【例6-3】（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）在矩形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿向点移动；同时点从点出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为秒，设的面积为，用含的函数关系式表示；当为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】；当时，有最小值，最小值为4 【分析】本题主要考查了矩形的性质、二次函数的应用，理解题意，正确得到二次函数解析式是解题关键．根据题意，可得，，，，然后由的面积可得，然后根据二次函数的图像与性质，可得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， 若两个点同时运动的时间为秒，则，， ∴，， ∴的面积 ， 即有， ∴为开口向上的二次函数，且对称轴为，且， ∴当时，有最小值，最小值为4． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t＋2），求出PG＝，可得，进而可得当t＝时，有最大值，问题得解． 【详解】解：将点A（−3，0），B（1，0）代入中，得， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令x＝0，则， ∴C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 代入A（−3，0），C（0，2）得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x＋2， 过点P作PGy轴交AC于点G， 设P（t，），则G（t，t＋2）， ∴PG＝， ∴， ∴当t＝时，有最大值，此时P（，）， 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，交轴于． (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方的抛物线上的一个动点，设的横坐标为，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值及点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)的最大值，此时点的坐标 【分析】（1）本题考查待定系数法求二次函数的解析式，将点代入求解即可得到答案； （2）本题考查二次函数动点围城最大面积问题，过作轴交于点，设直线的表达式为：，，表示出点，根据列出函数关系式，结合性质求解即可得到答案； 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，交轴于， ， ， 抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为：，代入得，， ，过作轴交于点，设，， ， ， 当时，的最大值，此时点的坐标 【变式6-3】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为， ． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，求出点C坐标，再求出，由二次函数的性质求最值，并得出点P坐标． 【详解】（1）解：把代入得： 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线解析式为，把代入得： 解得， ∴直线解析式为， 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为 ． 的最大值为，此时点P的坐标是 ． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 题型04建立二次函数模型解决作决策问题 类型一几何问题中的决策 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）为增加单位绿地面积，某单位要建一个矩形花圃，如图1，花圃一面用墙（墙长），其余三面用篱笆围成，篱笆总长．    (1)若花圃的面积为，求的长； (2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，围成的花圃面积能达到吗？如果能求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为 (2)围成的花圃面积不能达到 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；设的长为，根据（）得到，此方程的判别式得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【详解】（1）解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以符合题意， 答：的长为； （2）解：不能， 理由如下：设的长为 根据题意，得 即， ∵ ∴方程没有实数根， 所以，围成的花圃面积不能达到 【例7-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，杭州亚运会某场馆的运动员休息区是用长14米的挡板，再借助一段墙（墙足够长），围成的矩形，并在边上留一个1米宽的门． (1)当休息区的长和宽分别为多少米时，休息区的面积为25平方米？ (2)休息区的面积能达到30平方米吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)长和宽分别为5米、5米或10米、米； (2)不能达到30平方米，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程没有实数根”． （1）设米，则米，根据休息区的面积为25平方米，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）假设休息区的面积能达到30平方米，设米，则米，根据休息区的面积为30平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即休息区的面积不能达到30平方米． 【详解】（1）解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米； 当时，（米． 答：当休息区的长和宽分别为5米、5米或10米、米时，休息区的面积为25平方米； （2）解：休息区的面积不能达到30平方米，理由如下： 假设休息区的面积能达到30平方米，设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即休息区的面积不能达到30平方米 【例7-3】（22-23九年级上·辽宁营口·期中）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米． (1)若设米，则可表示为 ； (2)问所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，说明理由； (3)检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，请求出能围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)米 (2)能，长为4米或8米 (3)不可能围出147平方米的面积，能围出的最大面积是108平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据隔离带总长为33米，通道宽均为1米，结合图形列式即可； （2）根据矩形的面积公式列式，解方程即可； （3）首先表示出矩形的面积，然后根据二次函数求最值的方法求出能围出的最大面积即可． 【详解】（1）解：设米， 根据题意得：， ∴ 故答案为：米； （2）能； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：的长为4米或8米； （3）根据题意得：矩形的面积， 当时，矩形的面积有最大值，最大值， ∴不可能围出147平方米的面积，能围出的最大面积是108平方米 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，用长为9m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）． (1)求出y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） (2)能否使窗的透光面积达到3平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)能，窗框宽为1m，高为3m或宽为2m，高为m． 【分析】本题考查了二次函数的图形问题，一元二次方程的解法，确定长方形的长并利用矩形的面积公式建立函数关系是解题的关键． （1）窗框的周长=2个长+3个宽，据此确定长方形的长，再根据面积公式建立函数关系，根据长与宽都是正数建立不等式组求自变量的取值范围； （2）令y=3，建立一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵大长方形的周长为9m，宽为xm， ∴长为 m， y与x的函数关系式：， ，， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 解得：，， ∴能使窗的透光面积达到3平方米， 当时，； 当时，； 答：能，窗框宽为1m，高为3m或宽为2m，高为m 【变式7-2】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、等腰三角形性质、三角形面积、一元二次方程根的判别式等，解题关键是运用方程思想求解． （1）由题意可得，，根据为等腰三角形，建立方程求解即可； （2）根据，即可求得答案； （3）根据，可得，利用根的判别式即可得出答案； 【详解】（1）解：根据题意，， 为等腰三角形，， ，即， 解得：， ∴当时，为等腰三角形． （2）解：， ， 解得：， ∴当时，的面积为． （3）解：， ， 整理得：， ， ∴该方程没有实数根， ∴五边形的面积不能达到 【变式7-3】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． (1) ；（用含的代数式表示） (2)若生态园的面积为，求的值； (3)为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或11时，生态园的面积能达到 【分析】本题主要考查代数式，一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质即可得到答案； （2）由面积公式计算即可； （3）根据题意将此时的表示出来进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 由于篱笆长为， ， ； （2）解：由题意得：， 即， 解得， ， ， ． （3）解：由题意可得 由于篱笆长为， ， 解得． 当或11时，生态园的面积能达到 类型二实际问题中的决策 【典例分析】 【例8-1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价x定为1000元时，所获得的利润W最大，最大利润是80000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台”，进行列式化简，即可求解； （2）结合（1）以及“进价为600元/台”条件，正确列式计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，故函数有最大值， 当时，, 答：当售价定为1000元时，所获得的利润W（元）最大，最大利润是80000元 【例8-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． (1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； (2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？ 【答案】(1) (2)37元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键． （1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设每千克的平均销售价为元，由题意得关于的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为， 由题意，得：， 解得：，（舍去）． 答：平均每年的增长率为； （2）设每千克的平均销售价为元，由题意得： ， ， 当时，取得最大值为2450． 答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元 【例8-3】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外，某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为150kg，6月份销售量为216kg，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该款火腿销售量的月增长率； (2)若该款火腿的进价为120元/kg，经在市场中测算，当售价为160元/kg时，月销售量为200kg，若在此基础上售价每上涨1元/kg，则月销售量将减少2kg，为使月销售利润达到9000元，则该款火腿的实际售价应定为多少？ (3)在（2）的基础上，为使月销售利润达到最大，则该款火腿的实际售价应定为多少？此时，月销售最大利润是多少？（利润=售价-进价） 【答案】(1)该款火腿销售量的月增长率为； (2)该款火腿的实际售价应定为170元或210元； (3)该款火腿的实际售价应定为190元时，月销售最大利润是9800元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）设该款火腿销售量的月增长率为x，根据该款火腿4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）该款火腿的实际售价为y元，根据月销售利润=每千克火腿的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结论； （3）设该款火腿的实际售价为a元，月销售利润为w元，根据月销售利润=每千克火腿的利润×月销售量，列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设该款火腿销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款火腿销售量的月增长率为； （2） 解：设该款火腿的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 答：该款火腿的实际售价应定为170元或210元； （3）解：设该款火腿的实际售价为a元，月销售利润为w元， 依题意，得： ， ∵，∴当时，w有最大值，最大值为9800， 答：该款火腿的实际售价应定为190元时，月销售最大利润是9800元 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·吉林通化·期末）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 90 每天销量（件） (1)求出y与x的函数关系式 (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案． 【答案】(1)当时，，当时， (2)第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元 (3)该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用；涉及求函数解析式，函数的性质，求自变量的值等知识，理解题意并分类讨论是解题的关键． （1）分两种情况考虑，根据利润等于单件利润与销售数量的积即可求解； （2）对（1）中求得的函数式求出最大值并比较即可； （3）分别求出当函数值为4800时自变量的值，根据函数的图象与性质即可求得利润不低于4800元的天数，最后求得结果． 【详解】（1）解：当时， ； 当时，； 综上：当时，，当时，； （2）解：当时，， 当时，y取得最大值； 当时，对于， ∵， ∴当时，y取得最大值； ∵， ∴第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）解：当时，令， 解得：（舍去）， 此时共有（天）每天的利润不低于4800元； 当时，令， 解得：， ∵， ∴当时，每天的利润不低于4800元，此时的天数为（天）， ∵， ∴该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元 【变式8-2】（23-24九年级上·广东梅州·期末）某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ (3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元 (3)单价定为25元 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质，求出最值即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ∴当时，有最大值800， ∴销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元； （3）当时，， 解得：或， ∵确保顾客得到优惠， ∴， ∴单价应定为25元． 【变式8-3】（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱成功着陆，三位航天员平安归来，神舟十六号任务取得圆满成功，某飞箭航模店看准商机，推出成本为每件元的“神舟”模型．经调查，如果按每件元出售，每月可销售件．如果每降价元，月销售量就会增加件． (1)若月销售利润要达到元，且让利于顾客，则该“神舟”模型的销售单价应定为多少元? (2)当销售利润定为多少元时，月销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)当该“神舟”模型售价为元时，月销售利润达元 (2)当降价元，售价为元时，月销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该“神舟”模型降价元，根据“月销售利润每件模型的利润月销售量”，列方程即可求解； （2）设该“神舟”模型降价元，月销售利润为元，根据“月销售利润每件模型的利润月销售量”，即可求解． 【详解】（1）解：设该“神舟”模型降价元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：当该“神舟”模型售价为元时，月销售利润达元． （2）解：设该“神舟”模型降价元，月销售利润为元， ， ， ， ， W有最大值， 当降价元，售价为元时，月销售利润最大，最大利润为元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$