第4章 指数函数与对数函数 章末达标检测(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算：log225·log52＝(　　) A．3　　　 B．4　　　　 C．5　　　 D．6 解析　原式＝×＝3，故选A. 答案　A 2．函数y＝的定义域为(　　) A. B. C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 解析　要使函数有意义，则log0.5(4x－3)＞0，且4x－3＞0，所以0＜4x－3＜1，解得＜x＜1. 答案　A 3．函数的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1) B. C．(2，＋∞) D. 解析　函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t＝x2－3x＋2，则，t＝x2－3x＋2在(－∞，1)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，为减函数，根据“同增异减”可知，函数的单调递增区间是(－∞，1)． 答案　A 4．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析　由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6， 由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5.所以b>a>c.故选D. 答案　D 5．已知函数若f(m)＝3，则m的值为(　　) A. B．2 C．9 D．2或9 解析　∵函数f(m)＝3， ∴或解得m＝9，故选C. 答案　C 6．若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1有两个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,10)　　　　　 B．(1,10) C．(0,1) D．(0,1)∪(1,10) 解析　lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得0<a<1或1<a<10，故选D. 答案　D 7．通过市场调查，得到肉价在8～11四个月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x (单位：月)的数据如下： x 8 9 10 11 f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计12月份的肉市场的平均价为(　　) A．28　　 B．25　　　 C．23　　 D．21 解析　第二组数据近似为(9,34)，第四组数据近似为(11,34)，根据四组数据(8,28)，(9,34)，(10,36)，(11,34)，可得f(x)先增后减， 而f(x)＝bx＋a和f(x)＝x＋a，都是单调函数，故不符合要求， 所以选f(x)＝ax2＋bx＋c， 由第二组数据(9,34)和第四组数据(11,34)， 可得f(x)的图象关于x＝10对称， 故x＝12时，f(12)＝f(8)＝28，故选A. 答案　A 8．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ 设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　) A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2] C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1] 解析　由题意知：f(x)＝ 画出函数y＝f(x)的图象，由图象知当c∈(－2，－1]∪(1,2]时，y＝c与y＝f(x)有两个不同的交点，即y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，故选B. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数的图象关于y轴对称的有(　　) A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2|x| D．y＝|ln x| 解析　y＝，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，A不具奇偶性； y＝x2，则为幂函数，显然B为偶函数； y＝2|x|，定义域为R，f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)， 则C为偶函数； y＝|ln x|，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，D不具奇偶性，故选BC. 答案　BC 10．下列不等关系中一定成立的是(　　) 解析　因为log32＜log33＝1，log23＞log22＝1，所以log32＜log23，故A正确； 因为在(0，＋∞)上递增，则＜，因为y＝x在(0，＋∞)上递减，则，所以，故B正确； 因为－2＝－＜0，所以，n∈N*，故C正确； 当n＝2时，2n＝n2，故D错误，故选ABC. 答案　ABC 11．已知函数f(x)＝－x，则(　　) A．当a＝1时，函数f(x)的定义域为[－2,0] B．当a＝0时，函数f(x)的值域为R C．当a＝－1时，函数f(x)在R上单调递减 D．当a∈时，关于x的方程f(ax)＝a有两个解 解析　当a＝1时，f(x)＝－x，由|x＋1|－1≥0，解得x≥0或x≤－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2]∪[0，＋∞)，故A错误； 当a＝0时，f(x)＝－x，定义域为R，当x≥1时，f(x)≤0，当x＜1时，f(x)＞0，所以函数f(x)的值域为R，故B正确； 当a＝－1时，f(x)＝－x，当x≥1时，f(x)＝－x＝－2＋，在[1，＋∞)上单调递减，当x＜1时，f(x)＝－x，在(－∞，1)上递减，又f(1)＝0，所以函数f(x)在R上单调递减，故C正确； 易知f(ax)＝－ax，f(ax)＝a，则＝a＋ax，设a＋ax＝t≥0，则＝t，即a＝－t2＋t＝－2＋，若方程f(ax)＝a有两个解，则a∈，故D正确． 答案　BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2023·北京卷)已知函数f(x)＝4x＋log2x，则f＝________. 解析　函数f(x)＝4x＋log2 x，所以＋log2 ＝2－1＝1. 答案　1 13．若函数f(x)＝lg x＋x－3的近似零点在区间(k，k＋1)内，k∈Z，则k＝________. 解析　∵f(2)＝lg 2－1＜0，f(3)＝lg 3＞0， ∴k＝2. 答案　2 14．表观活化能的概念最早是针对Arrhenius(阿伦尼乌斯)公式中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，Arrhenius公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，A为阿伦尼乌斯常数．已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，＝________.(参考数据：ln 2≈0.7) 解析　根据题意，温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍， 则当温度从300开上升到400开时，反应速率常数k变为300开时的210倍， 由k＝， 当T＝300开，k1＝， 当T＝400开，k2＝， ＝10ln 2， ＝12 000ln 2 ≈12 000×0.7＝8 400. 答案　8 400 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)求下列各式的值． 解析　(1)原式＝＋ ＝＋2＝. (2)原式＝1＋＋＝2. 16．(15分)已知函数f(x)＝－x＋log2. (1)求f＋f的值； (2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)f(x)的定义域是(－1,1)， f(x)＝－x＋log2， f(－x)＝x＋log2＝－(－x)＋log2－1 ＝－＝－f(x)． 即f(x)＋f(－x)＝0. 所以f＋f＝0. (2)存在最小值，理由如下： 令t＝＝－1＋在(－1,1)内单调递减， y＝log2t在t＞0上单调递增，所以f(x)＝－x＋log2在(－1,1)内单调递减． 所以当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，函数f(x)存在最小值f(a)＝－a＋log2. 17．(15分)设f(x)＝ (1)求f的值； (2)求f(x)的最小值． 解析　(1)因为log2＜log22＝1， 所以 (2)当x∈(－∞，1]时，f(x)＝2－x＝x在(－∞，1]上是减函数，所以f(x)的最小值为f(1)＝； 当x∈(1，＋∞)时， f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)， 令t＝log3x，则t∈(0，＋∞)， f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)＝2－， 所以f(x)的最小值为g＝－. 综上知，f(x)的最小值为－. 18．(17分)汽车“定速巡航”技术用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而不需要司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试．经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： F(v)＝av3＋bv2＋cv，F(v)＝v＋a，F(v)＝klogav＋b. (1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 解析　(1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为[0,120]，且在[0,120]上为增函数， 函数F(v)＝v＋a在[0,120]上是减函数，所以不符合题意； 而函数F(v)＝klogav＋b的v≠0， 即定义域不可能为[0,120]，也不符合题意， 所以选择函数F(v)＝av3＋bv2＋cv. 由已知数据得 解得 所以F(v)＝v3－v2＋v(0≤v≤120) (2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得： y＝Ft＝· ＝v2－v＋70 ＝(v－80)2＋30， 因为0≤v≤120，所以，当v＝80时，y有最小值30. 所以这辆车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30 L. 19．(17分)设f(x)的定义域为R，若∀x1≠x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”． (1)若f(x)在R上单调递减，证明：f(x)是“H函数”； (2)已知函数g(x)＝2 024－x－2 024x－log2 024(＋x)． ①证明：g(x)是R上的奇函数，并判断g(x)是否为“H函数”(无需证明)； ②若对任意的m∈，g(2mt－4m2)＋g>0恒成立，求实数t的取值范围． (1)解析　若f(x)在R上单调递减，则∀x1≠x2，<0， 即(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0， 即x1f(x1)－x1f(x2)－x2f(x1)＋x2f(x2)＜0， 整理得x1f(x1)＋x2f(x2)＜x1f(x2)＋x2f(x1)， 所以f(x)是“H函数”． (2)①证明　g(x)＝2 024－x－2 024x－log2 024(＋x)的定义域为R，关于原点对称， g(－x)＝2 024x－2 024－x－log2 024(－x) ＝2 024x－2 024－x＋log2 024(＋x) ＝－g(x)， 所以g(x)是R上的奇函数． ∵g(x)在R上单调递减，∴g(x)是“H函数”． ②解析　∵g(x)是R上的奇函数，并为“H函数”，在R上单调递减， ∴g(2mt－4m2)＋g>0在m∈上恒成立， 可得g>－g ＝g在m∈上恒成立， 故2mt－4m2<－在m∈上恒成立， 即t<4m2＋在m∈上恒成立， 又注意到4m2＋＝2－4， 结合m∈，知2m＋>0， ∴t<2m＋－. 令h＝2m＋，其中m∈， 易知h在上单调递减，在上单调递增． ∴h≥h＝2. ∴令2m＋＝n，即t<n－恒成立，其中n≥2. 函数y＝x与函数y＝－均在上单调递增， 故函数y＝x－在上单调递增． 故n－≥2－＝，得t<， 故实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$