第4章 教考衔接5——函数的零点再探究(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

一、真题展示 (2022·天津卷)设a∈R，对任意实数x，记f(x)＝min{|x|－2，x2－ax＋3a－5}．若f(x)至少有3个零点，则实数a的取值范围为________． 二、真题溯源 [教科书P160第4题] 已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围． 三、类法探究 类型一　判断复合函数零点的个数 (多选)已知定义域和值域均为[－a，a](a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解 B．方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解 C．方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解 D．方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解 [解析]　设f(x)的零点为x1，x2，x3，且x1<x2<x3. 由f[g(x)]＝0，得g(x)＝x1或g(x)＝x2或g(x)＝x3. 由g(x)的图象可知满足条件的x的值有三个． 故方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解，故A正确； 同理，f[f(x)]最多有九个解，C错误； 因为g(x)＝0有一个解，又g(x)每个对应的值只有一个相应的解，故g[g(x)]有且仅有一个解，而g[f(x)]最多有三个解，所以B错误，D正确，故选AD. [答案]　AD [反思感悟] fgx型函数的零点即关于x 的方程f(gx)＝0 根的个数，在解此类问题时，要分两层分析，第一层是解关于gx 的方程，观察有几个gx 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层gx的值求出每一个gx 与几个x 对应，将x 的个数汇总后，即为f(gx)＝0 的根的个数. 类型二　一元二次方程根的分布问题 已知关于x 的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1) 若方程有两个根，其中一个根在区间 上，另一个根在区间 上，求m 的取值范围； (2) 若方程的两根均在区间 内，求m 的取值范围． [解析]　(1)由题意得，二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1 的图象与x 轴的交点横坐标分别在区间 和 上， 则 ∴ 故－<m<－， 即实数m 的取值范围是. (2)由题意得，二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1 的图象与x 轴的交点横坐标在区间上， 则 ∴ ∴－<m≤1－， 即实数m 的取值范围是. [反思感悟] 解决一元二次方程根的分布问题的一般思路 (1)读题，确定一元二次方程根的范围； (2)画图，注意二次函数图象的开口方向与二次函数零点的位置； (3)根据图象，写出解题的关键式： ①判别式(要特别注意有没有等号)；②二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系；③区间端点的函数值的符号． 类型三　由方程根的个数求参数的范围 (2023·郴州期中)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则实数t的取值范围为(　　) A．(－∞，－2]　　 B．[1，＋∞) C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) [解析]　作出函数f(x)的大致图象，如图所示， 令m＝f(x)，则y＝m2＋m＋t，易知y＝m2＋m＋t的图象的对称轴方程为m＝－，若原方程有3个不同的实根，则m＝f(x)在[1，＋∞)内有且仅有1个根，由对称轴m＝－可知，另外一个根在(－∞，－2]内，即方程m2＋m＋t＝0在(－∞，－2]，[1，＋∞)内各有一个根，∴解得t≤－2，即实数t的取值范围为(－∞，－2]，故选A. [答案]　A 学科网（北京）股份有限公司 $$