第4章 教考衔接4——指(对)数型复合函数的性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

一、真题展示 (2023·新课标Ⅰ卷)设函数f＝2x在区间上单调递减，则a的取值范围是(　　) A. B． C. D． 二、真题溯源 [教科书P120第9题] 已知函数y＝a|x|＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交． (1)求该函数的解析式，并画出图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性． 三、类法探究 一般地，对于函数y＝f，如果t＝g(x)在上单调递增(减)，并且y＝f在或者(g，g)上是单调函数，那么y＝f在上的单调性如下表所示： t＝g(x) y＝f y＝f 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 类型一　指数、对数型复合函数的定义域 已知函数，求f的定义域． [解析]　由题意可得2－3x>0，解得x<，即f(x)的定义域为. 令2x－1<，解得x<，所以f的定义域为. 类型二　指数、对数型复合函数的单调性 已知函数f(x)＝lg＋. (1)求f(x)的定义域； (2)解关于x的不等式f＋lg 5－≤0. [解析]　(1)根据题意，必有>0且x＋3≠0，解得－3<x<3， 所以f(x)的定义域为. (2)设g(x)＝lg，t＝，则函数转化为y＝lg t，当－3<x<3 时，t＝＝－1＋为减函数，因为y＝lg t 为增函数，所以g(x)在 上为减函数， 又y＝ 在 上为减函数， 所以f(x)＝lg＋ 在 上为减函数． 根据题意得，f＝lg＋＝－lg 5＋. 所以f＋lg 5－≤0⇒f≤－lg 5＋⇒f≤f⇒ 解得4≤x<8，即原不等式的解集为[4,8)． [反思感悟] 求f(gx) 型函数的单调性时要注意：单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域. 类型三　指数、对数型复合函数的奇偶性 已知函数f(x)＝loga，g(x)＝loga(a>0，且a≠1)． (1)当a＝3时，若f(x)>0，求x的取值范围； (2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，试判断F(x)的奇偶性，并说明理由． [解析]　(1)当a＝3时，f(x)＝log3， 若f(x)>0，则log3>0，所以x＋2>1，解得x>－1，故x的取值范围是. (2)F(x)是偶函数．理由：根据题意得，函数F(x)＝f(x)＋g(x)＝loga＋loga， 则解得－2<x<2， 即函数的定义域为，关于原点对称． 因为F＝loga＋loga＝F(x)， 所以函数F(x)为偶函数． [反思感悟] 对于复合型函数的奇偶性的判定，首先利用“原型”求定义域，然后用定义法判定，若不具有奇偶性，举一反例即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$