4.5.3 函数模型的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.5.3　函数模型的应用 学业标准 素养目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(难点) 通过构建数学模型解决实际问题，培养数学建模、数据分析等核心素养. 导学 函数模型的应用 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ (1)应用题中建立函数模型关键是确定哪两个要素？ [提示]　定义域和对应关系． (2)根据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？ [提示]　主要依据函数的单调性及增长速度的快慢． ◎结论形成 1．几种常用的函数模型 常用函数模型 一次函 数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函 数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函 数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函 数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a＞0且a≠1) 幂函数 模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 分段 函数模型 y＝ 2.用函数模型解应用问题的四个步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模——求解数学模型，得出数学模型． (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函数．(　　) (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为.(　　) (3)函数y＝·2x－10随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快．(　　) (4)自建函数模型解决的问题一定是准确无误的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析　分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后4×2＝23(个)……分裂x次后y＝2x＋1(个)． 答案　D 3．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　) A．14 400亩 B．172 800亩 C．17 280亩 D．20 736亩 解析　设第x年造林y亩，则y＝10 000(1＋20%)x－1，所以x＝4时，y＝10 000×1.23＝17 280(亩)． 答案　C 4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 解析　将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 答案　A (题点多探　多维探究) 角度1　指数函数模型的应用 某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数y(万人)与经过年数x(年)的函数关系； (2)计算10年后该城市的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． [解析]　(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)， 2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3， …… x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)． (2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)设x年后人口将达到120万人， 即可得到100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012＝log1.0121.2＝≈15.28. 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人． 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利润、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．　 角度2　对数函数模型的应用 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ [解析]　(1)由v＝log3可知， 当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)． 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)由v2－v1＝1， 即log3－log3＝1， 得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍． 对数函数模型的应用 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　 [触类旁通] 1．(1)天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)．其中星等为mi的天体的亮度为Ei(i＝1,2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)(　　) A．1.24　　　　　　　 B．1.25 C．1.26 D．1.27 (2)衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，设刚放进去的新丸的体积为a，经过t天后其体积V与天数t的函数关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后其体积变为a.若要使一个新丸的体积变为a，求其经过的天数． (1)解析　由题意，得1－1.25＝2.5(lg E2－lg E1)，∴lg＝，解得r＝＝10. 又10x≈1＋2.3x＋2.7x2(|x|较小)， 所以r≈1＋2.3×＋2.7×2＝1.257. 故与r最接近的是1.26. 答案　C (2)解析　由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝. 设经过t1天后，一个新丸的体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴＝，解得t1＝75. 故经过75天，新丸的体积会变为a. 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2. (1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式； (2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值． [解析]　(1)设AM＝y，AD＝x， 则x2＋4xy＝200，∴y＝. 由x＞0，y＞0得0＜x＜10. 故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2 ＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)． (2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000， 且0＜t＜200. ∵函数u＝t＋在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增， ∴当t＝10时，umin＝20. 故当x＝时，Qmin＝118 000(元)． 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． (1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务． (2)“设什么”就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． (3)“列什么”就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等． (4)“限制什么”主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人的个数只能是整数等．　 [触类旁通] 2．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入4千万元，公司获得毛收入1千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxα(x>0)，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式； (2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．(利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金) 解析　(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝k1x(x>0)，生产B芯片的毛收入y＝kxα(x＞0)，将(4,1)代入y＝k1x，得k1＝，所以生产A芯片的毛收入y＝x. 将(1,1)，(4,2)代入y＝kxα， 得∴ 所以生产B芯片的毛收入y＝(x>0)． (2)公司投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片， 则投入(40－x)千万元资金生产A芯片，公司所获利润f(x)＝＋－2＝－(－2)2＋9，故当＝2， 即x＝4千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元． 知识落实 技法强化 1.应用已知函数模型解决实际问题． 2.拟合数据构建函数模型解决实际问题. 实际应用题易忘记定义域和结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$