4.5.1 函数的零点与方程的解(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　函数的应用(二) 4．5.1　函数的零点与方程的解 学业标准 素养目标 1.理解函数零点的定义，理解函数的零点与方程实数解的关系，会求函数的零点．(重点) 2．掌握函数零点存在定理，会判断函数零点的个数．(重点、难点) 1.通过函数零点的概念与求解，培养数学抽象、数学建模等核心素养． 2．借助函数零点个数的判断，培养直观想象、逻辑推理等核心素养. 导学1 函数的零点 已知函数f(x)＝2x＋6. (1)求方程f(x)＝0的解； (2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标； (3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系？ [提示]　(1)由2x＋6＝0，解得x＝－3. (2)交点坐标A(－3,0)． (3)相等． ◎结论形成 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点与方程解的等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 导学2 函数零点存在定理 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现这个二次函数在区间[－2,1]上有零点x＝－1，而f(－2)＞0，f(1)＜0，即f(－2)·f(1)＜0.二次函数在区间[2,4]上有零点x＝3，而f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)·f(4)＜0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ [提示]　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． ◎结论形成 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 反过来，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)＜0是否一定成立？ [提示]　不一定成立，由二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图象可知． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点．(　　) (2)任何函数都有零点．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上满足f(a)f(b)＞0，则函数无零点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是(　　) A．(－1,0)　　　　 B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析　因为f(2)＝8－6－3＝－1＜0，f(3)＝27－9－3＝15＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以D正确． 答案　D 3．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________． 解析　f(x)＝－2x＋m的零点为4， 所以－2×4＋m＝0，m＝8. 答案　8 4．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1. 答案　(－∞，1) 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点． (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x； (3)f(x)＝4x－16； (4)f(x)＝ [解析]　(1)令－8x2＋7x＋1＝0， 解得x＝－或x＝1. 所以函数的零点为－，1. (2)令1＋log3x＝0，即log3x＝－1，解得x＝. 所以函数的零点为. (3)令4x－16＝0，即4x＝42，解得x＝2. 所以函数的零点为2. (4)当x≤0时，由f(x)＝0，即x2＋3x－4＝0，也就是(x－1)(x＋4)＝0，解得x＝1或x＝－4.因为x≤0，所以x＝－4； 当x＞0时，由f(x)＝0，即－1＋ln x＝0， 解得x＝e，满足x＞0. 所以函数的零点为－4和e. 函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．　 [触类旁通] 1．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则函数y＝logn(mx＋1)的零点为________． 解析　由题意知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的实根． 所以有解得 所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为 y＝log2(－2x＋1)． 令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0. 答案　0 (题点多探　多维探究) 角度1　判断函数零点的个数(一题多变) 判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． [解析]　解法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在区间(0,2)内必定存在实根． 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点． 解法二　令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg(x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示． 由图象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点． [母题变式] (变条件)将例2－1变为：方程x＋ln x＝3解的个数为________． 解析　解法一　令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝3－x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示． 由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．故原方程只有1个解． 解法二　因为f(3)＝ln 3＞0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln＜0，所以f(3)·f(2)＜0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2,3)内有零点．又f(x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以原方程只有一个解． 答案　1 [素养聚焦] 图象法是判断函数零点的个数最直观最有效的方法，通过图象法判断函数零点的个数，把直观想象核心体现在解题中. 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，方程有几个不同的实数根，函数就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．　 角度2　根据零点的个数求参数 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________． [解析]　函数f(x)＝的图象如图所示． 函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，由图知实数k的取值范围为. [答案]　 [触类旁通] 2．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 解析　当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因为函数f(x)有两个不同的零点， 则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x， 因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1， 所以实数a的取值范围是(0,1]． 答案　(0,1] (1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　) A．(0,2)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________． x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 [解析]　(1)令f(x)＝log3x＋x－3， 则f(1)＝log31＋1－3＝－2＜0， f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0， f(3)＝log33＋3－3＝1＞0， f(4)＝log34＋4－3＝log312＞0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C. (2)记f(x)＝ex－x－2，则该函数的零点就是方程ex－x－2＝0的实根．由题表可知f(－1)＝0.37－1＜0，f(0)＝1－2＜0，f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，f(3)＝20.09－5＞0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)＜0，故函数的零点所在的区间为(1,2)，所以k＝1. [答案]　(1)C　(2)1 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．　 [触类旁通] 3．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A. B. C. D. 解析　∵f(x)＝2x－，且f(1)＝2－1＝1＞0， f＝－2＜0，∴f(1)·f＜0. ∴f(x)在区间内存在零点．故选B. 答案　B 知识落实 技法强化 1.函数的零点定义． 2.函数的零点与方程的解的关系． 3.函数零点存在定理． 4.函数零点个数的判断. 1.易错点：零点理解成点． 2.常用方法：零点个数问题转化成两个函数图象交点个数的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$