4.4.4 不同函数增长的差异(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第4课时　不同函数增长的差异 导学 一次函数、指数函数、对数函数增长的比较 下图是同一直角坐标系中，三个函数y＝2x，y＝2x，y＝log2x的图象． (1)如图，当log2x＜2x＜2x时，x的范围是什么？ (2)如图，当log2x＜2x＜2x时，x的范围是什么？ (3)从三种函数图象的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？ [提示]　(1)1＜x＜2. (2)0＜x＜1或x＞2. (3)y＝2x快速增长，呈爆炸性增长，而y＝2x增长速度不变，呈直线增长，而y＝log2x的增长速度越来越慢． ◎结论形成 函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大逐 渐趋于稳定　 随x的增大 匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞kx＞logax 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　) (2)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　) (3)当a>1，k>0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logax<kx<ax.(　　) (4)函数的衰减速度越来越慢．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　 　 　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 答案　A 3．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为(　　) A．8 ℃ B．78 ℃ C．112 ℃ D．18 ℃ 解析　T(3)＝27－9＋60＝78，故选B. 答案　B 4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　) A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b 解析　由散点图和四个函数的特征可知， 可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c. 答案　B (1)下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝1.1x　　　　　　 B．y＝2 024x2 C．y＝log2 024x D．y＝2 024x (2)四个因变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． [解析]　(1)比较一次函数、指数函数与对数函数、二次函数可知，指数函数增长速度最快． (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． [答案]　(1)A　(2)y2 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增长，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称之为“指数爆炸”．　 3对数函数模型：对数函数模型y＝logaxa＞1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. [触类旁通] 1．当x∈(1，e)时，试探究三个函数y＝3x，y＝ln x，y＝x的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为________． 解析　当x∈(1，e)时，3x＞3＞x＞＞1＞ln x，故3x＞x＞ln x. 答案　3x＞x＞ln x 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 024)，g(2 024)的大小． [解析]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， 所以1＜x1＜2,9＜x2＜10， 所以x1＜6＜x2,2 024＞x2， 从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)． 当x＞x2时，f(x)＞g(x)，所以f(2 024)＞g(2 024)． 又因为g(2 024)＞g(6)， 所以f(2 024)＞g(2 024)＞g(6)＞f(6)． [母题变式] (变条件)本例中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)问呢？ 解析　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x. 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．　 [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较这两个函数的增长差异(以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 解析　(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)． (题点多探　多维探究) 角度1　选择函数模型 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数　　　　　 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 [解析]　对数型函数初期增长迅速，后来增长越来越慢，故选D. [答案]　D 角度2　用函数模型决策 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息； 乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息． 哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) [解析]　按甲方案，每年利息100×10%＝10，5年后本息合计150万元； 按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)． 故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利． 根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．根据函数模型合理决策．　 [触类旁通] 3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是(　　) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 解析　对于A，x＝1,2时，符合题意， x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16； 对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8； x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意； 对于C，x＝1,2时，符合题意， x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04， 与A比较，更符合题意； 对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45； x＝3时，y≈0.6＜0.7，相差较大，不符合题意． 答案　C 知识落实 技法强化 1.三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2.函数增长速度的比较． 3.函数模型的选择. 正确理解三种函数增长的差异. 学科网（北京）股份有限公司 $$