4.4.3 对数函数及其性质的应用(二)(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第3课时　对数函数及其性质的应用(二) 导学1 反函数 给出函数f(x)＝2x与g(x)＝log2x. (1)两个函数的定义域、值域之间有什么关系？ (2)在同一坐标系中，两函数的图象有什么关系？ [提示]　(1)定义域、值域正好互换． (2)关于直线y＝x对称． ◎结论形成 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．它们的图象关于直线y＝x对称. 导学2 对数型函数的奇偶性 给出函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1，b＞0)． (1)该函数的定义域是什么？ (2)对于∀x∈(－b，b)，f(x)与f(－x)有何关系？ [提示]　(1)(－b，b)． (2)f(－x)＝－f(x)． ◎结论形成 形如f(x)＝loga，f(x)＝loga，f(x)＝loga(a＞0，且a≠1，b＞0)等的函数均为奇函数. 导学3 对数型函数的单调性 设函数f(x)＝loga(x2－2)(a＞0，且a≠1)． (1)当a＞1时，判断f(x)在(，＋∞)上的单调性． (2)当0＜a＜1时，试判断函数f(x)的单调性． [提示]　(1)单调递增． (2)在(，＋∞)上单调递减，在(－∞，)上单调递增． ◎结论形成 1．若a＞1，则函数f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集，f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集． 2．若0＜a＜1，则函数f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(1－x)(a＞0，且a≠1)是一个偶函数．(　　) (2)函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)在其定义域上是增函数．(　　) (3)在(0，＋∞)上为增函数．(　　) (4)若函数g(x)的最大值为m，则函数f(x)＝的最大值就是(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．f(x)＝log2x的反函数是(　　) A．y＝ax　　　　　 B．y＝2x C．y＝logx2 D．y＝4x 答案　B 3．f(x)＝log2是奇函数，则(　　) A．a＝1 B．a＝－1 C．a≥1 D．a≤－1 答案　A 4．f(x)＝log4(9－x2)的单调递减区间是________，单调递增区间是________． 解析　由已知得9－x2＞0，∴x∈(－3,3)， ∵u＝9－x2在(－3,0)上单调递增， 在(0,3)上单调递减， 又f(x)＝log4u是增函数，∴f(x)在(－3,0)上单调递增，在(0,3)上单调递减． 答案　(0,3)　(－3,0) 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域，值域． [解析]　 是增函数，所以 所以的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)， 所以g(x)＝2 023lg x，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)． 互为反函数的常用结论 (1)同底的指数函数、对数函数互为反函数． (2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．　 [触类旁通] 1．(1)已知函数y＝ax与y＝logax，其中a>0且a≠1，下列说法不正确的是(　　) A．两者的图象关于直线y＝x对称 B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域 C．两函数在各自的定义域内增减性相同 D．y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图象 答案　D (2)函数y＝f(x)是的反函数，则f(2)＝________. 解析　f(x)＝x，f(2)＝2＝. 答案　 (一题多变) (1)求函数的单调区间． (2)讨论函数的单调性． [解析]　(1)设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)． (2)函数＝(logx－1)2＋1. 设，因而y＝(t－1)2＋1，当t∈(－∞，1)时，函数y＝(t－1)2＋1单调递减；当t∈(1，＋∞)时，函数y＝(t－1)2＋1单调递增，而在定义域内单调递减，则当x∈时，f(x)单调递减，当x∈时，f(x)单调递增． [母题变式] (变条件)若将本例(1)改为f(x)＝loga(x2－2x－3)结果如何？ 解析　若0＜a＜1，结合母题(1)的解析得f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，单调递减区间是(3，＋∞)；a＞1时，f(x)的递增区间是(3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1)． [素养聚焦] 利用对数函数解有关复合函数的单调区间问题时，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键 一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意函数的定义域． 2．对数型复合函数一般可分为两类 一类是对数函数为外函数，即y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型．对于y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反．研究y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型复合函数的单调性，一般用复合函数的单调性法则判断即可，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f(t)的单调性即可．　 [触类旁通] 2．函数在[－1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． 解析　令t＝3x2－ax＋7，则单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝， 所以解得－10<a≤－6， 故a的取值范围为(－10，－6]． 已知奇函数f(x)＝ln. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)当x∈[2,5]时，ln(1＋x)>m＋ln(x－1)恒成立，求实数m的取值范围． [解析]　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即ln＝－ln. ∴＝，即(a2－1)x2＝0， 解得a＝±1， 经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1. (2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 证明：由(1)得f(x)＝ln，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝ln－ln ＝ln＝ln. ∵1<x1<x2， ∴x2－x1>0，>1， ∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减． (3)由已知得m<ln(1＋x)－ln(x－1)， 即m<ln. 由(2)知f(x)＝ln在[2,5]上为减函数． ∴f(x)在[2,5]上的最小值为f(5)＝ln. 于是m<ln， 即实数m的取值范围为. 以对数函数为载体，考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等，这类问题综合性较强．明确各知识点与所求目标之间的联系，做好等价转化是解决问题的关键．解题中需注意运用常见方法和规避常见错误． (1)定义域：研究此类综合性问题，首先要弄清函数的定义域，即遵循“定义域”优先原则，在对数函数综合性问题的求解中尤其重要． (2)单调性：复合函数单调性的核心是同增异减． (3)奇偶性：难点在于对数式的化简与变形． (4)值域：常采用换元法求解，注意新元的取值范围．　 [触类旁通] 3．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)． (1)求g(x)的定义域； (2)求g(x)的最大值以及g(x)取得最大值时x的值． 解析　(1)∵f(x)的定义域为[1,9]， ∴要使函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)有意义， 必须满足 ∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1,3]． (2)∵f(x)＝2＋log3x， ∴g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3. ∵g(x)的定义域为[1,3]，∴0≤log3x≤1. ∴当log3x＝1，即x＝3时，函数g(x)取得最大值． ∴g(x)max＝g(3)＝13. 知识落实 技法强化 1.反函数的概念． 2.复合函数的单调区间． 3.对数函数的综合应用. 对于对数型复合函数的综合应用，无论是求最值还是求参数，必须抓住两点：一是求定义域，二是在定义域内求单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外，在解题过程中注意数形结合方法的应用. 学科网（北京）股份有限公司 $$