4.4.2 对数函数及其性质的应用(一)(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　对数函数及其性质的应用(一) 导学 对数函数的图象和性质 根据列表、描点、连线的画图步骤，根据下列表格，在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和的图象． x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y＝logx … 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 … [提示]　描点、连线．如图所示． 通过观察函数y＝log2x和y＝logx的图象，分析性质，并完成下表． 函数 y＝log2x 定义域 (0，＋∞) (0，＋∞) 值域 R R 单调性 增函数 减函数 最值 无最值 无最值 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 特殊点 (1,0) (1,0) y的变 化情况 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 对称性 y＝log2x和的图象关于x轴对称 ◎结论形成 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点(1,0)，即loga1＝0 函数值 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 趋势 a值越大图象越靠近x，y轴 a值越小图象越靠近x，y轴 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)．(　　) (2)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．(　　) (3)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象．(　　) (4)若loga2＞loga3，则0＜a＜1.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在同一坐标系中，函数y＝x与y＝log2x的图象大致是(　　) 解析　由于y＝x中的底数0＜＜1，所以为减函数，所以排除B，C，由于y＝log2x中的底数2＞1，所以为增函数，所以排除D. 答案　A 3．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为(　　) A．(2，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)． 答案　C 4．函数y＝loga(x－1)－1的图象过定点________． 解析　∵令x－1＝1，则x＝2，y＝－1，∴该函数过定点(2，－1)． 答案　(2，－1) (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0＜a＜b＜1　　　　　 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1 (2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________. [解析]　(1)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1. (2)∵函数的图象恒过定点(3,2)， ∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c， 得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， ∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2. [答案]　(1)B　(2)－2　2 对数函数图象的特点 (1)研究对数函数图象时，应注意底数a的范围，若判断底数不同的对数函数的图象，可在x轴上方画一水平直线，自左向右底数增大． (2)对数型函数过定点问题，可令真数为1，求出定点．　 [触类旁通] 1．(1)(多选)已知a＞0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图象可能是(　　) (2)函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________． 解析　(1)若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象单调递减且过点(0,1)，函数y＝logax的图象单调递减且过点(1,0)；若a＞1，则函数y＝ax的图象单调递增且过点(0,1)，而函数y＝logax的图象单调递增且过点(1,0)，只有A，C中图象符合． (2)由2x－5＝1得x＝3，则f(3)＝loga1＝0， 即函数f(x)恒过定点(3,0)． 答案　(1)AC　(2)(3,0) (一题多解) 比较下列各组值的大小． (1) log5 与log5 ； (3) loga3.1 与loga5.2 (a>0，且a≠1 )． [解析]　(1)解法一　log5 和log5 可看作是函数y＝log5x 的两个函数值． 因为对数函数y＝log5x 是增函数，且<，所以log5<log5. 解法二　因为log5<0， log5>0，所以log5<log5. 又对数函数y＝log2x是增函数，且1>>， 所以0>log2>log2， (3)loga3.1 与loga5.2 (a>0，且a≠1 )可看作是函数y＝logax (a>0，且a≠1 )的两个函数值． 当a>1 时，函数y＝logax 是增函数，因为3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1 时，函数y＝logax 是减函数，因为3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上，当a＞1时，loga3.1＜loga5.2； 当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2. 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数时，直接利用对数函数的单调性比较大小． (2)同真数时，利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同时，找中间值． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．　 [触类旁通] 2．比较下列各组值的大小． (2) log1.51.6，log1.51.4 ； (3) log0.57，log0.67 ； (4) log3π，log20.8. 解析　(1)因为函数是减函数，且0.5<0.6，所以 (2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4. (3)因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57. (4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8. 解下列关于x的不等式． (2)loga(2x－5)＞loga(x－1)； (3)logx＞1. [解析]　(1)由题意可得 解得0＜x＜2. 所以原不等式的解集为{x|0＜x＜2}． (2)当a＞1时，原不等式等价于 解得x＞4， 当0＜a＜1时，原不等式等价于 解得＜x＜4. 综上所述， 当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为. (3)当x＞1时，由logx＞logxx，可得x＜，此时无解； 当0＜x＜1时，由logx＞logxx，可得＜x＜1. 综上，原不等式的解集为. [素养聚焦] 利用解对数不等式，把数学运算等核心素养体现在解题过程中. 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a＞logg(x)a(f(x)，g(x)＞0且不等于1，a＞0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．　 [触类旁通] 3．(1)求满足不等式log3x＜1的x的取值范围； (2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． 解析　(1)∵log3x＜1＝log33，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，∴x满足的条件为即0＜x＜3. ∴x的取值范围是{x|0＜x＜3}． (2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，得解得x＞1.∴x的取值范围是{x|x＞1}． 知识落实 技法强化 1.对数函数的图象及性质． 2.利用对数函数的图象及性质比较大小． 3.利用单调性解对数不等式. 讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $$