4.4.1 对数函数的概念(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　对数函数 学业标准 素养目标 1.掌握对数函数的概念．(重点) 2．掌握对数函数的图象和性质及其应用．(难点) 3．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异，理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(易混点、重点) 4．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点) 1.通过对数函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助对数函数图象与性质的研究及应用，提升直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过实际问题构建数学模型，培养数学建模等核心素养. 第1课时　对数函数的概念 导学 对数函数的概念 我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x>0)是否表示y是x的函数？为什么？ [提示]　是．由对数的定义可知y＝log2x(x>0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x>0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞)． ◎结论形成 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由y＝logax，得x＝ay，所以x＞0.(　　) (2)y＝log2x2与y＝logx3不是对数函数．(　　) (3)若y＝logax是对数函数，则a＞0且a≠1.(　　) (4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列函数，其中为对数函数的是(　　) 解析　根据对数函数的定义可知C选项符合，故选C. 答案　C 3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 解析　由x－1＞0，得x＞1. 答案　B 4．若函数y＝logx＋(a2－5a＋4)是对数函数，则实数a＝________. 解析　由对数函数的概念得⇒ 解得a＝4. 答案　4 (1)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值是(　　) A．1或2　　　　　　 B．1 C．2 D．a>0且a≠1 (2)已知对数函数f(x)的图象过点. ①求f(x)的解析式； ②解方程f(x)＝2. (1)[解析]　∵函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数， ∴a2－3a＋3＝1，a>0且a≠1， 解a2－3a＋3＝1可得a＝1或a＝2， ∴a＝2，故选C. [答案]　C (2)[解析]　①由题意设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 由函数图象过点可得f(4)＝， 即loga4＝，所以， 解得a＝16，故f(x)＝log16x. ②方程f(x)＝2， 即log16x＝2， 所以x＝162＝256，所以方程的解是x＝256. 1．判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 2．对数函数解析式的求法 若已知一个函数是对数函数，则可设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，再根据条件求出a值．　 [触类旁通] 1．(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝________. (2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝________. 解析　(1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 则3＝loga8，∴a3＝8，a＝2. ∴f(x)＝log2x， ∴f＝log2＝log22－5＝－5. (2)因为函数f(x)是对数函数， 则解得m＝1. 答案　(1)－5　(2)1 (1)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．(0,1) D．[0,1] (2)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是________． [解析]　(1)由题意得x2－x>0， 解得x>1或x<0， 故函数的定义域是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选A. (2)由解得－<x<1，所以函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是. [答案]　(1)A　(2) [母题变式] (变条件)若将本例(2)改为f(x)＝＋，结果又如何？ 解析　由解得－＜x＜0或0＜x＜1，所以f(x)的定义域为∪(0,1)． 答案　∪(0,1) 求对数型函数的定义域需注意 (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1.　 [触类旁通] 2．函数f(x)＝＋的定义域为________． 解析　由解得－1＜x＜0或0＜x≤3.所以函数f(x)＝＋的定义域为(－1,0)∪(0,3]． 答案　(－1,0)∪(0,3] 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30,31.2＝3.74,31.4＝4.66)． (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min? (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ [解析]　(1)由题意知，x0＝2，x＝8 100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得：x≈466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位． (3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相减可得1＝log3，解得：＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． [素养聚焦] 利用对数函数在实际问题中的应用，把数学建模、数学运算等核心素养体现在解题过程中. 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围． (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax. (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．　 [触类旁通] 3．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2，其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中叫做信噪比．”根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为(　　) (参考数据：100.2≈1.58) A．1 559 B．3 943 C．1 579 D．2 512 解析　由题意得≈60%，则≈1.6,1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，所以λ≈1 579. 答案　C 知识落实 技法强化 1.对数函数的概念． 2．对数函数模型的简单应用. 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 学科网（北京）股份有限公司 $$