4.3.2 对数的运算(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.3.2　对数的运算 学业标准 素养目标 1.会推导对数的运算性质． 2．掌握对数的运算性质，并会化简、求值．(重点、难点) 3．会用换底公式进行对数运算．(重点) 1.通过推导对数的运算性质、换底公式，培养逻辑推理等核心素养． 2．借助对数的运算，提升数学运算等核心素养. 导学1 对数的运算性质 指数的运算法则有哪些？ [提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. (1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题(2)的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)？还能得到什么结论？ [提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n，所以am＝M，an＝N，故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n. ◎结论形成 对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 若MN>0，运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaN还成立吗？ [提示]　不一定成立．例如对于(－2)×(－3)>0， loga((－2)×(－3))≠loga(－2)＋loga(－3)， 因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． 导学2 换底公式 假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝，所以得出log35＝的结论． 由问题1你能猜测出与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ [提示]　结论为＝logab. 证明如下：令＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒＝logab. ◎结论形成 对数换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． [拓展] 对数换底公式的常用的推论 (1)logab·logba＝1⇔logab＝； (2)loganMm＝logaM. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)loga(xy)＝logax·logay(x，y＞0)．(　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　) (4)loga＝logax－logay(x，y＞0)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若lg 2＝m，则lg 5＝(　　) A．m　　　　　　　　 B． C．1－m D． 解析　因为lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝1. 所以lg 5＝1－lg 2＝1－m. 答案　C 3．2log510－log54＝________. 解析　2log510－log54＝log5102－log54 ＝log5＝log525＝2. 答案　2 4．log23·log34＝________. 解析　log23·log34＝·＝＝2. 答案　2 计算下列各式的值． (1)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (2). [解析]　(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)原式＝ ＝＝＝. 底数相同的对数式的化简和求值的方法 (1)“收”，将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数“拆”成同底的两对数的和(差)．　 [触类旁通] 1．计算下列各式的值． (2)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)． 解析　(1)原式＝log29－log2＋log27－2＝log2－2＝3－2＝1. (2)原式＝log33＋lg(25×4)－log24＝＋lg 100－log222＝＋2－2＝. (一题多解　一题多变) 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示) [解析]　解法一　因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝ ＝＝. 解法二　因为＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18， 同理得lg 5＝blg 18， 所以log3645＝＝＝ ＝＝. [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)? 解析　log1845＝log185＋log189＝b＋a. 2．(变条件)若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为log94＝a，9b＝5，结论不变，如何求？ 解析　log3645＝＝＝. 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．　 [触类旁通] 2．求下列各式的值． (1)log2×log3×log5； (2) ×(log1258＋log254＋log52)． 解析　(1)原式＝×× ＝＝－12. (2)原式＝(log253＋log2252＋log235)×(log5323＋log5222＋log52) ＝×log25××log52 ＝×3＝13. 已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z. [解析]　令2x＝3y＝5z＝k(k>0)， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， ∴＝logk2，＝logk3，＝logk5， 由＋＋＝1， 得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30， ∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56. [素养聚焦] 本题考查指数与对数运算的综合应用，突出考查数学运算核心素养. 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数k，用k表示其他变量．　 [触类旁通] 3．设3x＝4y＝36，求＋的值． 解析　解法一　∵3x＝36,4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436. ∴＝＝＝log363， ＝＝＝log364. ∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1. 解法二　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2.∴＝log63，＝log62. ∴＋＝log63＋log62＝log66＝1， 即＋＝1. 知识落实 技法强化 1.对数的运算性质． 2.换底公式． 3.利用对数的运算性质化简、求值． 4.实际问题中的对数运算. 要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则；要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆. 学科网（北京）股份有限公司 $$