4.2.2 指数函数的图象和性质的应(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　指数函数的图象和性质的应用 导学 指数函数图象间的关系 观察同一平面直角坐标系中函数①y＝x；②y＝x；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？ [提示]　函数y＝x与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝x与y＝3x的图象关于y轴对称． ◎结论形成 一般地，指数函数y＝ax和y＝x (a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1.51.5＞1.52.(　　) (2)0.52＜0.53.(　　) (3)e2＜e.(　　) (4)0.90.2＞0.90.5.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列大小关系正确的是(　　) A．0.93＜30.9＜π0　　 B．0.93＜π0＜30.9 C．30.9＜0.93＜π0 D．π0＜30.9＜0.93 解析　因为π0＝1,0.93＜1,30.9＞30＝1， 所以0.93＜π0＜30.9. 答案　B 3．若，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B． C．(－∞，1) D． 解析　函数y＝x在R上为减函数， 所以2a＋1＞3－2a，所以a＞. 答案　B 4．三个数中，最大的是______，最小的是________． 解析　因为函数y＝x在R上是减函数， 所以 又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方， 答案　 角度1　比较大小 比较下列各组数的大小． (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1. [解析]　(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5＞1， 所以函数y＝1.5x在R上是增函数， 因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2. (2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为0＜0.6＜1， 所以函数y＝0.6x在R上是减函数， 因为－1.2＞－1.5，所以0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1,0.92.1＜0.90＝1，所以1.70.2＞0.92.1. 角度2　解简单指数不等式 (1)不等式3x－2＞1的解集为________． (2)若，求x的取值范围． (1)[解析]　3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)． [答案]　(2，＋∞) (2)[解析]　因为，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3； 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3. 综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)； 当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)． 比较幂值大小的三种类型及处理方法 → → → [提醒]　解简单的指数不等式往往先化成af(x)＞ag(x)的形式，若a的取值不确定，需分类讨论．　 [触类旁通] 1．(1)设，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　　 B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c (2)不等式的解集为(　　) A．[－1,3] B．[－3，－1] C．[－3,1] D．[1,3] (3)若，求x的取值范围． (1)解析　因为a＝20.3，c＝－2.5＝22.5， 所以c＞a＞1. 又因为b＝0.32＜1，所以c＞a＞b，故选D. 答案　D (2)解析　 ∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，∴不等式的解集为[－3,1]． 答案　C (3)解析　当a>1时，原不等式等价为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1； 当0<a<1时，原不等式等价为x2－3x＋2<0， 解得1<x<2. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)；当0<a<1时，x的取值范围是(1,2)． 截至2021年年底，我国人口约14亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？(参考数据1.0120＝1.23) [解析]　今后人口年平均增长率为1%，设经过x年后，我国人口数为y亿，2021年底，我国人口约为14亿， 经过1年(即2022年)，人口数为14＋14×1%＝14(1＋1%)亿； 经过2年(即2023年)，人口数为14×(1＋1%)＋14×(1＋1%)×1%＝14(1＋1%)2亿； 经过3年(即2024年)，人口数为14(1＋1%)2＋14×(1＋1%)2×1%＝14(1＋1%)3亿； …… 经过x年，人口数为14(1＋1%)x亿， 则y＝14(1＋1%)x. 当x＝20时，y＝14(1＋1%)20≈17(亿)． 答：经过20年后，我国人口最多为17亿． [素养聚焦] 在实际问题中，经常遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N1＋px，x∈N.此类函数是刻画指数增长或衰减变化规律的非常有用的函数模型.通过此类问题的研究，重点培养数学建模核心素养. 解决指数函数应用题的一般步骤 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题．　 [触类旁通] 2.为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数解析式为_______________________________________________； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 解析　(1)从图中可以看出：当t＝0.1时，y＝1， 即可求得方程0.1－a＝1中的a＝0.1， 所以y＝t－0.1. (2)由题设y≤0.25，则t－0.1≤0.25， 即2t－0.2≤，故2t≥1.2，所以t≥0.6， 因此从药物释放开始至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 答案　(1)y＝t－0.1　(2)0.6 已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝. (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域． [解析]　(1)∵ ∴根据题意得 解得 故a，b的值分别为－1,0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)设任意x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，则f(x1)－f(x2)＝ 因为x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，所以，所以，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞)． 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．　 [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)用单调性的定义证明：f(x)在R上是增函数． (1)证明　f(x)的定义域是R，对任意的x∈R，都有f(－x)＝＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)解析　f(x)＝＝＝1－.(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单) 设x1，x2是R上的任意两个值，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ 因为x1<x2，所以 所以，则f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，故f(x)在R上是增函数． 知识落实 技法强化 1.利用指数函数单调性比较大小、解不等式． 2.指数函数的实际应用． 3.指数函数性质的综合应用. 1.易忽视指数函数的底数a的讨论． 2.根据实际问题，能选择正确的函数模型. 学科网（北京）股份有限公司 $$