4.2.1 指数函数的概念、图象和性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　指数函数 学业标准 素养目标 1.理解指数函数的概念，能作出指数函数的简图． 2．掌握指数函数的性质，并能解决与其有关的定义域、值域等问题．(重点) 3．能利用指数函数的图象和性质比较大小，解不等式．(重点) 4．会解决与指数增长(衰减)型有关的实际问题．(重点、难点) 1.通过指数函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助指数函数图象与性质的学习，提升直观想象等核心素养． 3．通过指数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养. 第1课时　指数函数的概念、图象和性质 导学1 指数函数的概念 细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系？ (2)上述对应关系是函数关系吗？为什么？ [提示]　(1)y＝2x，x∈N＋. (2)是．符合函数的定义． ◎结论形成 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数是自变量x，定义域是R. 导学2 指数函数的图象与性质 分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝x的图象及y＝3x与y＝x的图象，并回答下列问题： (1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ (2)图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ (3)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) [提示]　(1)它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数． (2)不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0,1)． (3)定义域为R，值域为{y|y>0}，过(0,1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数． ◎结论形成 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 奇偶性 非奇非偶函数 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝ax＋2是指数函数．(　　) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　) (4)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 解析　y＝2－x＝x，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B. 答案　B 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则函数的解析式为________． 解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 因为图象经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4. 因为a>0且a≠1，得a＝2， 即函数的解析式为f(x)＝2x. 答案　f(x)＝2x 4．函数y＝4x＋2的值域是________． 解析　∵当x∈R,4x>0，∴y>2，即值域为(2，＋∞)． 答案　(2，＋∞) (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 (2)已知函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则实数a的值为________． [解析]　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数； ⑤中，底数－2＜0，故⑤不是指数函数． (2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， 可得解得 故a＝2. [答案]　(1)B　(2)2 指数函数是一个形式定义，其特征如下： [触类旁通] 1．(1)(多选)下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝52x B．y＝－4x C．y＝x3 D．y＝(6a－3)x (2)已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝________. 解析　(1)根据指数函数的定义知y＝52x＝25x，y＝(6a－3)x是指数函数．y＝x3是幂函数，y＝－4x不是指数函数． (2)函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数， ∴解得a＝1. 答案　(1)AD　(2)1 根据函数f(x)＝x的图象，画出函数g(x)＝|x|的图象，并借助图象，写出这个函数的一些重要性质． [解析]　g(x)＝|x|＝ 其图象如图． 由图象可知，函数g(x)的定义域为R，值域是(0,1]， 图象关于y轴对称，单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是(0，＋∞)． 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．　 [触类旁通] 2．(1)函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2) (2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析　(1)因为当x＝2时，y＝ax－2＋1＝2恒成立， 所以函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(2,2)． (2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线的位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0. 答案　(1)D　(2)D (1)函数y＝ 的定义域是(　　) A．[－2，＋∞)　　　　　　 B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] (2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　) A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) (3)函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________． [解析]　(1)由题意得－27≥0， 所以≥27， 即≥－3， 又指数函数y＝x为R上的单调减函数， 所以2x－1≤－3，解得x≤－1. (2)由f(x)的图象过点(2,1)可知b＝2，由f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C正确． (3)①若a＞1，则f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)． ②若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)． 综上所述，a的值为或. [答案]　(1)C　(2)C　(3)或 指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域为{x|x∈D}； ③求t＝f(x)的值域为{t|t∈M}； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．　 [触类旁通] 3．(1)函数y＝ 的定义域是________； (2)函数的定义域为______，值域为______． 解析　(1)由1－3x≥0，得3x≤1＝30， 因为函数y＝3x在实数集上是增函数， 所以x≤0，故函数y＝ 的定义域为(－∞，0]． (2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为＞0，又0＜＜1， 所以，即值域为(0,1)． 答案　(1)(－∞，0]　(2)(－∞，0)∪(0，＋∞)　(0,1) 知识落实 技法强化 1.指数函数的概念． 2.指数函数的图象． 3.指数函数有关的定义域与值域. 1.易忽视指数函数的底数a的限制条件，即a＞0且a≠1. 2.易混淆指数函数与幂函数． 3.易忽视底数a的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$