4.1 指数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　指 数 学业标准 素养目标 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．通过对有理数指数幂a(a＞0，且a≠1，m，n为整数且n＞0)，实数指数幂aα(a＞0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．(重点、难点) 1.通过指数幂的有关概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助指数幂的化简与求值，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学1 n次方根、n次根式 我们在初中学习了平方根、立方根，有没有四次方根、五次方根……n次方根呢？我们知道x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？x3＝8呢？ [提示]　对x2＝3，则x＝±；对于x3＝8，则x＝2. ◎结论形成 1．n次方根、n次根式的概念 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号表示． (2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±(a＞0)． 负数没有偶次方根． 0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)式子叫做根式(radical)，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质 (1)()n＝a(n∈N*且n＞1)． (2)当n是奇数时，＝a(n＞1且n∈N*)； 当n是偶数时，＝|a|＝ 导学2 分数指数幂及其运算性质 根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ① ＝ ＝a2＝a(a>0)； ②＝ ＝a4＝a(a>0)； ③ ＝ ＝a3＝a(a>0)． [提示]　当a＞0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数． ◎结论形成 1．正分数指数幂 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．于是，在条件a＞0，m，n∈N*，n＞1下，根式都可以写成分数指数幂的形式． 2．负分数指数幂 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． 3．0的分数指数幂 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？ [提示]　由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂． ◎结论形成 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 导学3 无理数指数幂及其运算性质 无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)有何意义？有怎样的运算性质？有理数指数幂的运算性质是否还适用？ [提示]　无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小．一般来说，无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． ◎结论形成 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n∈N*时，()n有意义．(　　) (2) ＝4－π.(　　) (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　) (4)0的任何指数幂都等于0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列各式正确的是(　　) 解析　∵7＝＝n7m－7，∴A错； ∵＝＝，∴B错； 答案　D 3．下列等式一定成立的是(　　) 解析　 答案　D 4．计算的结果为________． 解析　原式＝1＋×＝1＋＝. 答案　 (1)化简下列各式． ① ＝________； ②()2＋ ＋ ＝________. (2)设－3<x<3，求 －的值． (1)[解析]　① ＝x－π. ②由题意，首先a－1≥0，即a≥1. 从而()2＝a－1， ＝|1－a|＝a－1, ＝1－a， 所以原式＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. [答案]　①x－π　②a－1 (2)[解析]　原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|. 当－3<x<1时，原式＝(1－x)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. 故原式＝ 根式的化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分()n与两式； ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论．　 [触类旁通] 1．计算下列各式． (1) ＝________； (2) ＝________； (3) － －＝________. 解析　(1) ＝－a. (2) ＝ ＝π－3. (3) －－ ＝ － － ＝－－＝. 答案　(1)－a　(2)π－3　(3) 计算下列各式． (1)＋16－0.75； (2) [解析]　(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝－1＋＋＝. (2)a0b0＝. 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．　 [触类旁通] 2．(1)化简：(a＞0，b＞0)； (2)计算： 解析　 (1)已知am＝4，an＝3，则 的值为(　　) A.　　　 B．6　　　　 C.　　　 D．2 (2)已知，求下列各式的值． (1)[解析]　因为am＝4，an＝3， 所以am－2n＝＝，所以＝＝. [答案]　A (2)[解析]　①将两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. ②将a＋a－1＝3两边平方，有a2＋a－2＋2＝9， 所以a2＋a－2＝7. [母题变式] 1．(变结论)本例(2)条件不变，求a2－a－2的值． 解析　设y＝a2－a－2，两边平方得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3，即a2－a－2＝±3. 2．(变条件)将本例(2)中的条件改为a2＋a－2＝3，求a＋a－1的值． 解析　∵a2＋a－2＝3，∴(a＋a－1)2－2＝3， 即(a＋a－1)2＝5，故a＋a－1＝±. [素养聚焦] 通过整体代入，巧妙变形，提高运算求解能力，进而提升数学运算等核心素养. 条件等式求值的原则和技巧 (1)两个原则 ①把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值． ②先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值． (2)技巧：乘法公式在分数指数幂中的应用及“整体代换”的技巧、换元思想．　 [触类旁通] 解析　 因为x＋y＝12，xy＝9， 所以2＝2－4xy＝108， 因为x<y，所以x－y＝－6， 知识落实 技法强化 1.根式及其性质． 2．分数指数幂及其性质. 1.整体代换分类讨论． 2．根式运算通常转化为幂运算. 学科网（北京）股份有限公司 $$