2.3.2 一元二次不等式的综合应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　一元二次不等式的综合应用 解下列不等式． (1)≥0； (2)>1. [解析]　(1)原不等式等价于 即⇒－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}． (2)原不等式可化为－1>0，即<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0.∴<x<. ∴原不等式的解集为. 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．　 [触类旁通] 1．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式>0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或x＞2}　 B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 解析　依题意，a>0且－＝1. >0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔(x－2)>0，即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2或x<－1. 答案　A 设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于1≤x≤3，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0. 若m≠0，⇒－4<m<0. ∴－4<m≤0， 即m的取值范围是{m|－4＜m≤0}． (2)解法一　要使y<－m＋5在1≤x≤3上恒成立，就要使m2＋m－6<0在1≤x≤3上恒成立． 令y2＝m2＋m－6,1≤x≤3. 当m>0时，y2随x的增大而增大， ∴y2在x＝3时有最大值7m－6<0， ∴0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，y2随x的增大而减小， ∴y2在x＝1时有最大值m－6<0，得m<6. ∴m<0. 综上所述，m的取值范围是. 解法二　当1≤x≤3时，y<－m＋5恒成立， 即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝2＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，∴只需m<即可． ∴m的取值范围是. 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 3．y≤a恒成立⇔a≥ymax，y≥a恒成立⇔a≤ymin.　 [触类旁通] 2．已知y＝x2＋2(a－2)x＋4. (1)如果对一切x∈R，y>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由题意可知，只有当二次函数y＝x2＋2(a－2)x＋4与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ<0，即4(a－2)2－16<0，解得0<a<4，即实数a的取值范围为{a|0＜a＜4}． (2)若对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立，则满足题意的函数y＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示． 由图象可知，此时a应该满足解得 这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足： 对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立． 某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划将图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的表达式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ [解析]　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， ∴＝，即＝， 解得AD＝20－x， ∴矩形ABCD的面积S关于x的函数为 S＝x(0＜x＜30)， 即S＝20x－x2(0＜x＜30)． (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0. 解得12≤x≤18. ∴AB的长度取值范围为{x|12≤x≤18}． [素养聚焦] 通过一元二次不等式的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中. 解不等式应用题，一般可按以下四步进行 (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)解不等式． (4)回答实际问题．　 [触类旁通] 3．某农贸公司按每担 200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解析　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)， 依题意得a(50＋x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2， 即x的取值范围为. 知识落实 技法强化 1.简单的分式不等式的解法． 2.二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用． 3.一元二次不等式的实际应用. 1.解分式不等式要等价变形． 2.利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. [必备知识·基础巩固] 1．不等式≥0的解集是(　　) A．{x|x≥2}　　　 　　 B．{x|x≤1或x＞2} C．{x|x＜1} D．{x|x＜1或x≥2} 解析　原不等式可化为 ∴x≥2或x＜1， 故原不等式的解集为{x|x＜1或x≥2}． 答案　D 2．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－＜a≤} B．{a|－＜a＜} C．{a|－≤a＜} D．{a|－≤a≤} 解析　Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0，∴－≤a≤. 答案　D 3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 解析　3 000＋20x－0.1x2≤25x⇔x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150. 答案　C 4．若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m≤0} B．{m|m＞0} C．{m|m≥－2} D．{m|m＜－2} 解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0恒成立， ∴原不等式等价于4x＋m≥2(x2－2x＋3)， 即2x2－8x＋6－m≤0有解， ∴Δ≥0，解之得m≥－2. 答案　C 5．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________． 解析　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥. 答案　 6．若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为________． 解析　x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b， ∵ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，∴a＞0，故＝＞0， 等价于(x＋1)(x－2)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－1}． 答案　{x|x＞2或x＜－1} 7．不等式＞0的解集为________． 解析　原不等式等价于x＋5＞0且x≠2，即x＞－5且x≠2， ∴原不等式的解集为{x|x＞－5且x≠2}． 答案　{x|x＞－5且x≠2} 8．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件． (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围； (2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？ (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？ 解析　税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，设y为税率为P%时M每年的销售额， 即y＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%， 其中0<P<8. (1)由解得2≤P≤6. 故P的范围为{P|2≤P≤6}． (2)∵y＝80(80－10P)在2≤P≤6时，y随x的增大而减小，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额为4 800万元． (3)∵0<P<8， 设税收金额为G，则G＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128， ∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元． [关键能力·综合提升] 9．(多选)若命题“存在实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0成立”是假命题，则实数a可以是(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析　命题“存在实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0成立”是假命题， 则其否定为“∀实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0成立”是真命题， 当a＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立； 当a≠2时，则， 解得－2＜a＜2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2＜a≤2}． 故选BCD. 答案　BCD 10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．{x|15≤x≤30} B．{x|12≤x≤25} C．{x|10≤x≤30} D．{x|20≤x≤30} 解析　设矩形的另一边长为y m， 则由三角形相似知，＝， ∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300， ∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. 答案　C 11．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合为________． 解析　(1)当a＝0时，满足题意． (2)当a≠0时，应满足 解得0<a≤4. 综上可知，a值的集合为{a|0≤a≤4}． 答案　{a|0≤a≤4} 12．若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1或x＞4}，则实数a＝________. 解析　由题意知，不等式的解集为{x|x＜－1或x＞4}，则(x－a)(x＋1)＞0⇔(x＋1)(x－4)＞0，故a＝4. 答案　4 13．关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0. (1)m为何实数时，方程有两正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？ 解析　(1)由已知，得 解得－ ≤m＜－1或m>1，即m的取值范围是. (2)由已知，得 解得－1<m<1. 所以m的取值范围是{m|－1<m<1}． [核心价值·探索创新] 14．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≥3} B．{m|m≤3} C．{m|m≤6} D．{m|m≥6} 解析　∵a＞0，b＞0，＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，“＝”成立． 若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则－x2＋4x＋18－m≤16， 即－x2＋4x＋2≤m对任意实数x恒成立． ∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6，∴m≥6，故选D. 答案　D 15．某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 解析　如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系． ∵AB＝400，∠BAx＝30°， ∴热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处． 由已知，A市受热带风暴影响时，有AP≤350， 即(200)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得，3.75≤x≤6.25， A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)． 故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 学科网（北京）股份有限公司 $$