2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　二次函数与一元二次方程、不等式 学业标准 素养目标 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式和分式不等式．(重点) 2. 理解函数零点的概念和不等式恒成立问题． 3．了解含有参数的一元二次不等式的解法．(难点) 4．会用一元二次不等式解决一些简单的实际问题．(难点) 1.借助一元二次不等式及其解法的学习，提升直观想象等核心素养． 2．通过一元二次方程与一元二次不等式的关系，提升数学抽象等核心素养． 3．通过一元二次不等式应用的学习，提升数学建模、数学运算等核心素养. 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 导学1 一元二次不等式的有关概念 不等式x2－5x≤0是一个关于x的一元二次不等式，那么一元二次不等式有什么特点？ [提示]　含有一个未知数，且未知数的最高次数为2. ◎结论形成 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式． 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0 解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫这个一元二次不等式的解集 导学2 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 画出二次函数y＝x2－5x的图象，如图所示，思考下列问题： ①不等式x2－5x≤0的解集是什么？ ②不等式x2－5x>0的解集是什么？ [提示]　①{x|0≤x≤5}；②{x|x>5或x<0}． 根据上述问题，你认为怎样确定一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集呢？ [提示]　可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． ◎结论形成 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式ax2－x－1＞0表示一个一元二次不等式．(　　) (2)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx＋c＝0的解有关．(　　) (3)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则函数y＝ax2＋bx＋c无零点．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　) A. B．{x|x＞1} C．{x|x＜1，或x＞2} D. 解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－， ∴不等式的解集为. 答案　D 3．不等式x2－5x＋6≤0的解集为________． 解析　∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0. ∴2≤x≤3. ∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}． 答案　 {x|2≤x≤3} 4．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________． 解析　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜3}，所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－2,3. 答案　－2,3 解下列不等式． (1)x2－8x＋15≥0； (2)－x2－2x＞－3； (3)－2x＞－3＋3x－3x2. [解析]　 (1)方程x2－8x＋15＝0的两根分别为x1＝3， x2＝5. 函数y＝x2－8x＋15的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点(3,0)和(5,0)，(如图所示) 观察图象可知，不等式的解集为{x|x≤3或x≥5}． (2)原不等式可化为x2＋2x－3＜0. ∵(x＋3)(x－1)＜0， ∴由图象可得解集为{x|－3＜x＜1}． (3)原不等式移项整理得3x2－5x＋3＞0. ∵Δ＝(－5)2－4×3×3＝－11＜0， ∴方程3x2－5x＋3＝0无实根． 函数y＝3x2－5x＋3的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点． ∴原不等式的解集为R. 解一元二次不等式的一般步骤 　 [触类旁通] 1．解下列不等式． (1)x2－5x－6＞0； (2)(2－x)(x＋3)＜0. 解析　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知， 原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知， 原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}． 解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)． [解析]　原不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0， 当a＝0时，x<1； 当a>0时，(x－1)<0. ∴－<x<1； 当a＝－1时，x≠1； 当－1<a<0时，(x－1)>0， ∴x>－，或x<1； 当a<－1时，－<1， ∴x>1，或x<－， 综上所述，原不等式的解集是： 当a＝0时，为{x|x<1}； 当a>0时，为； 当a＝－1时，为{x|x≠1}； 当－1<a<0时，为. 当a<－1时，为. 对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论．一般地，对于形如ax2＋bx＋c＞0的不等式分类讨论的划分标准有以下几种类型： (1)按二次项系数a分为：a＞0，a＝0，a＜0. (2)按其对应的一元二次方程的判别式分为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0. (3)若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，按两根的大小分为：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 [触类旁通] 2．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解析　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知： ①当a<0或a>1时，a2>a. 解原不等式得x>a2或x<a，不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}． ②当0<a<1时，a2<a，解原不等式得x>a或x<a2， 不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}． ③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0，不等式的解集为{x|x≠0}． ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1，不等式的解集为{x|x≠1}． 综上可知， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [解析]　解法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0. 又×2＝<0，则c>0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－.又＝－， ∴b＝－a，c＝－a. ∴不等式变为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 所求不等式的解集为. 解法二　由已知得a<0，且＋2＝－，×2＝，知c>0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－， －＝＝ ＝＋＝－， ∴x1＝＝－3，x2＝， ∴不等式cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为. [素养聚焦] 通过三个二次之间的关系的应用，把数学抽象和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 　 [触类旁通] 3．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解析　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根． 由根与系数的关系得得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0. 由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为xx<，或x>1. 知识落实 技法强化 1.一元二次不等式的概念及解法． 2.含参数的一元二次不等式的解法. 1.二次项含参数时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论． 2.解含参数的一元二次不等式时需确定一个合理的分类标准. 学科网（北京）股份有限公司 $$