2.2.2 基本不等式的综合应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　基本不等式的综合应用 导学 利用基本不等式求最值的策略 利用基本不等式求最值时，应满足什么条件？ [提示]　满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 当给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？ [提示]　先变形，后应用． ◎结论形成 利用基本不等式求最值的策略 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥均成立．(　　) (2)若x＞1，则x＋≥1.(　　) (3)a，b异号时，＋≤－2.(　　) (4)当x≥2时，x＋的最小值为2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A.　　 B．　　　 C.　　 D． 解析　∵0<x<1，∴1－x>0， 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 答案　A 3．已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为________． 解析　x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时，等号成立． 答案　20 4．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 解析　1＝x＋4y≥2＝4， ∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立． 答案　 (1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． [解析]　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立， 故y＝(x>0)的最小值为9. (2)解法一　∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤2＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 解法二　∵0<x<，∴－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x ≤3·2＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件． 2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等．　 [触类旁通] 1．已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值． 解析　∵x＜，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3 ＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立， ∴当x＝1时，ymax＝1. 已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值． [解析]　解法一　＋＝·1 ＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2 ＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当即时等号成立． ∴＋的最小值为3＋2. 解法二　＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当，即时等号成立，∴＋的最小值为3＋2. 1．本题在解答中要注意使＋取最小值所对应a，b的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．　 [触类旁通] 2．设x>0，y>0，且x＋3y＝2，则＋的最小值是(　　) A.　　　　　　　　 B．8 C．5＋2 D．16 解析　由题意，x＋3y＝2，故＝1， 则＋＝×＝＋＋＋＝5＋＋≥5＋2 ＝5＋2×＝8，当且仅当＝，即x＝y＝时等号成立， 故选B. 答案　B 某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元满足关系式m＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)求出常数k的值，并将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． [解析]　(1)由题意，x≥0， 不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件， 在m＝3－中，k为常数，∴1＝3－， 解得k＝2，∴m＝3－， ∵厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍， ∴每件产品年平均成本为， ∴利润：y＝1.5m·－＝ －＋29， 即y＝－＋29. (2)由题意及(1)得在y＝－＋29中， y＝－＋29≤－2＋29＝－8＋29＝21， 当且仅当＝x＋1即x＝3时等号成立， ∴该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大． 基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案．　 [触类旁通] 3．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v＞0)．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时) 解析　由题意y＝ ＝≤＝， 当且仅当v＝，即v＝40时，等号成立． ∴ymax＝≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v＝40千米/小时时，车流量最大为11.1千辆/小时． 知识落实 技法强化 1.求简单代数式的最值． 2.求有约束条件的最值． 3.基本不等式在生活中的应用. 1.拼凑出定值． 2.生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围. [必备知识·基础巩固] 1．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3　　　　　　　　 B．－3 C．3－2 D．－1 解析　∵x＞0，∴y＝3－≤3－2 ＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立． 答案　C 2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m 解析　设两直角边分别为a m，b m，直角三角形的框架的周长为l m，则ab＝2， ∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)． ∵要求够用且浪费最少．∴选用7 m的铁丝． 答案　C 3．(多选)设a＞0，b＞0，下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4 D．≥4 解析　设a＞0，b＞0， a2＋1－a＝2＋＞0，A成立； a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立； (a＋b)＝2＋＋≥4，故C成立； a＋≥2，b＋≥2，故D成立，故选ACD. 答案　ACD 4．若a>0，b>0，且a＋b＝2ab，那么a＋2b的最小值是(　　) A．6 B．3＋2 C．2 D．＋ 解析　∵a>0，b>0，且a＋b＝2ab， ∴＋＝1. 则a＋2b＝(a＋2b)＝＋＋≥＋2＝＋， 当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝时，等号成立． 所以a＋2b的最小值为＋. 答案　D 5．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________． 解析　因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝， 当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，等号成立，xy取到最大值. 答案　 6．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________，＋的最小值是________． 解析　∵x>0，y>0，∴x＋2y＝2≥2， ∴2xy≤1，∴xy≤，当且仅当x＝2y， 即x＝1，y＝时取等号． ∴xy的最大值是. 又由x＋2y＝2，得(x＋2y)＝1， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥(3＋2)， 当且仅当x＝y，即x＝2－2，y＝2－时取等号．∴＋的最小值是(3＋2)． 答案　　(3＋2) 7．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是________． 解析　x2－ax＋1≥0，x＞0恒成立⇔ax≤x2＋1，x＞0恒成立⇔a≤x＋，x＞0恒成立． ∵x＞0，x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立)，∴a≤2. 答案　{a|a≤2} 8．当x<时，求函数y＝x＋的最大值． 解析　y＝(2x－3)＋＋ ＝－＋， ∵当x<时，3－2x>0， ∴＋≥2 ＝4， 当且仅当＝，即x＝－时取等号． 于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－. [关键能力·综合提升] 9．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16　　 B．25　　 　 C．9　　 D．36 解析　(1＋x)(1＋y)≤2 ＝2＝2＝25， 因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取得最大值25，故选B. 答案　B 10．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为(　　) A．50 B．25 C．50 D．100 解析　设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100. 于是S＝xy≤＝50， 当且仅当x＝y＝5时等号成立． 答案　A 11．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 解析　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1， ∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1. ∴(x＋y)2≤1. ∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立． 答案　 12．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析　因为x>0，所以＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立， 所以的最大值为.所以a≥. 答案　 13．展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入R万元， 且R＝ (1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本) (2)当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润． 解析　(1)年利润S＝xR－380x－150＝ (2)当0＜x≤20时， S＝－2x2＋120x－150＝－2(x－30)2＋1 650， 函数的对称轴是x＝30，当0≤x≤20时，S随x的增大而增大， 当x＝20时，函数取得最大值1 450； 当x＞20时，S＝－10＋1 990≤－10×2 ＋1 990＝1 490， 当x＝，即x＝25时，等号成立， 此时S的最大值是1 490， ∵1 450＜1 490， ∴当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1 490万元． [核心价值·探索创新] 14．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是(　　) A．大于 10 g B．大于等于 10 g C．小于 10 g D．小于等于 10 g 解析　由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a(a＞0)，右臂长为b(b＞0)，则a≠b， 再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b， ∴x＝，y＝， ∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10， 当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y＞10，因此，顾客购得的黄金大于10 g. 答案　A 15．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围． 解析　由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0. 因此，原不等式等价于＋≥m. 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． 因为＋ ＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立． 所以m≤4，即m的取值范围是{m|m≤4}. 学科网（北京）股份有限公司 $$