2.2.1 基本不等式(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　基本不等式 学业标准 素养目标 1.会推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义． 2．掌握基本不等式，明确等号成立的条件及利用基本不等式求最值．(重点) 3．会用基本不等式证明不等式．(难点) 1.通过基本不等式的推导，培养直观想象、数学抽象等核心素养． 2．通过基本不等式的应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 第1课时　基本不等式 导学1 基本不等式 如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]　a＋b≥2. 不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ [提示]　不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数． ≥与2≥ab是等价的吗？ [提示]　不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. ◎结论形成 算术平均数 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均数 几何平均数 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均数 基本不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 导学2 利用基本不等式求最值 已知函数y＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ [提示]　最大值；能． ∵0<x<1，∴1－x>0， 又∵≥，∴ab≤2， ∴x(1－x)≤2＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，y有最大值. ◎结论形成 已知x，y都是正数 和定积最大 若x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2 积定和最小 若xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　) (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤2.(　　) (4)a，b同号时，＋≥2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3　 C．x＝5 D．x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 答案　C 3．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析　∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立． 答案　C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 解析　xy≤＝2，当且仅当x＝y时等号成立． 答案　2 (多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2 ＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2 ＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－－＋－≤－2 ＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab [解析]　A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2 ＝4是错误的； C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以D不正确． [答案]　AC 1．基本不等式≥ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.　 [触类旁通] 1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2 ＝2； ②若x＜0，则x＋＝－≤－2 ＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2 ＝2. 解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当x＝，即x＝1时，等号成立， 因为x＞1，所以x＋＞2； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 答案　② (1)当x＞0时，求＋4x的最小值； (2)当x＜0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值． [解析]　(1)∵x＞0，∴＞0,4x＞0. ∴＋4x≥2＝8， 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x＞0时，＋4x的最小值为8. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x，即x＝－时，等号成立． ∴＋4x≤－8. ∴当x＜0时，＋4x的最大值为－8. (3)∵x＞0，a＞0，∴4x＞0，＞0， 4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时，等号成立， ∴a＝36. 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立．　 [触类旁通] 2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16　　　　　　　 B．25 C．9 D．36 解析　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)·(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取得最大值25. 答案　B 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. [证明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立， ∵a，b，c互不相等，∴＋＋>9. [母题变式] (变结论)已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8. 证明　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， ∴＝·· ≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号，∵a，b，c互不相等，∴不等式成立． 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．　 [触类旁通] 3．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 证明　因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以＋＋≥6. 知识落实 技法强化 1.基本不等式的推导与证明． 2.利用基本不等式比较大小． 3.利用基本不等式证明不等式. 利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少. 学科网（北京）股份有限公司 $$