2.1 等式性质与不等式性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　等式性质与不等式性质 学业标准 素养目标 1.了解不等式的性质．(难点) 2．能利用不等式的性质比较数与式的大小. (重点) 3．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 4．了解重要不等式．(重点) 1.借助不等式的性质的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数与式的大小比较，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学1 基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0； 如果a＝b⇔a－b＝0； 如果a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 导学2 重要不等式 我们把“风车”造型抽象成平面图形，如图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的直角边长分别为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ [提示]　，a2＋b2,2ab. 根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ [提示]　a2＋b2>2ab. 存在4个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？ [提示]　当直角三角形变成等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2＋b2＝2ab. ◎结论形成 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 导学3 不等式的性质 已知3>2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ [提示]　同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立，当c＝0时，3c＝2c；当c>0时，3c>2c；当c<0时，3c<2c. 如果a>b，那么a2>b2成立吗？ [提示]　不一定成立． 对于不等式的性质，同向不等式是否相减也成立？ [提示]　不一定成立，例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的． 同向不等式相除还成立吗？ [提示]　不一定成立，例如5>3且4>1，则>是错的． ◎结论形成 名称 式子表达 性质1(对称性) a>b⇒b<a 性质2(传递性) a>b，b>c⇒a>c 性质3(可加性) a>b⇒a＋c>b＋c 推论 a＋b>c⇒a>c－b 性质4(可乘性) a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc 性质5(不等式同向可加性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 性质6(不等式同向正数可乘性) a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质7(乘方性) a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.(　　) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (3)若a＞b⇔ac2＞bc2.(　　) (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 解析　限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 答案　C 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　) A．ad>bc　　　　　 B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析　a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项． 答案　D 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． 解析　M－N＝a2＋a＋1＝2＋＞0， ∴M＞N. 答案　M＞N (1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ [解析]　(1) v≤40. (2) 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．　 [触类旁通] 1．用不等式表示下列关系． (1)x为实数，而且大于1不大于6； (2)x与y的平方和不小于2且不大于10. 解析　(1)1<x≤6.(2)2≤x2＋y2≤10. 已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． [解析]　解法一(作差法) －(＋) ＝＋ ＝＋ ＝ ＝. ∵a，b为正实数， ∴＋>0，>0，(－)2≥0， ∴≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 解法二(作商法) ＝ ＝＝ ＝＝1＋≥1， 当且仅当a＝b时取等号． ∵＋>0，＋>0， ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 解法三(平方后作差) ∵2＝＋＋2， (＋)2＝a＋b＋2， ∴2－(＋)2＝. ∵a>0，b>0，∴≥0， 又＋>0，＋>0， 故＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，方法可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号．　 [触类旁通] 2．(1)已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． (2)对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解析　(1)∵a3＋b3－(a2b＋ab2) ＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. (2)若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*， 则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. 题型三　不等式性质的运用 (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc. (2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤. [证明]　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd>0， ∴≤，∴＋1≤＋1， ∴≤. 用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件，利用相应的不等式性质证明；要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数；一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的；一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等．　 [触类旁通] 3．(多选)已知a>b>>0，则(　　) A．b>1　　　　　　 B．a>1 C．a> D．a＋b> 解析　a＝2，b＝，满足条件，故A错误；a>>0⇒a2>1⇒a>1，故B正确；由b>>0得a>，故C正确；由有a＋b>，故D正确， 故选BCD. 答案　BCD 知识落实 技法强化 1.用不等式(组)表示不等关系． 2.作差法比较大小． 3.不等式的性质及其应用. 1.注意：实际问题中变量的实际意义． 2.每条性质是否具有可逆性. 学科网（北京）股份有限公司 $$