1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学业标准 素养目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的否定，培养数学抽象等核心素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学 含量词的命题的否定 如何写出一个含有量词的命题的否定？ [提示]　一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． ◎结论形成 p ¬p 结论 全称量词命题：∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题：∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　) (3)全称命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(　　) (4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．命题“∃x∈R，x2－1＞0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－1≤0 B．∃x∉R，x2－1≤0 C．∀x∈R，x2－1≤0 D．∀x∉R，x2－1≤0 解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“∃x∈R，x2－1＞0”的否定是“∀x∈R，x2－1≤0”，故选C. 答案　C 3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1≠0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题． 答案　C 4．命题“同位角相等”的否定为________． 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故否定为：有的同位角不相等． 答案　有的同位角不相等 写出下列全称量词命题的否定． (1)所有能被2整除的整数都是偶数； (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根． [解析]　(1)命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． (3)命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x)，即全称量词命题的否定是存在量词命题．　 [触类旁通] 1．写出下列命题的否定． (1)每一个素数都是奇数； (2)∀x∈R，都有x2－2x＋1≥0. 解析　(1)存在一个素数不是奇数； (2)∃x∈R，使得x2－2x＋1<0. 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. [解析]　(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题． (2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”． ∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3， 因此命题的否定是假命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．　 [触类旁通] 2．写出下列命题的否定． (1)某些三角形是正三角形； (2)∃x∈R，使得x＋1<0. 解析　(1)所有三角形都不是正三角形； (2)∀x∈R，x＋1≥0. 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围． [解析]　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1<0”． 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0， 解得a<－2或a>2. 所以实数a的取值范围是{a|a＜－2或a＞2}． [母题变式] 1．(变条件)若本例中的“假命题”改为“真命题”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析　由题意知Δ≤0，则a2－4≤0，得－2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[－2,2]． 2．(变条件)若本例中的“任意x∈R”改为“x>0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析　因为全称命题“对于x>0，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x>0，x2＋ax＋1<0”． 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知 解得a<－2， 所以实数a的取值范围是{a|a＜－2}． 含有量词的命题中参数范围的求解策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax). 　 3若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题解决. [触类旁通] 3．若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≥1}　　　　　　　 B．{m|m＞1} C．{m|m＜1} D．{m|m≤1} 解析　命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1，故选B. 答案　B 知识落实 技法强化 1.全称量词命题、存在量词命题的否定． 2.命题真假的判断． 3.全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 否定不唯一，命题与其否定的真假性相反. 学科网（北京）股份有限公司 $$