1.5.1 全称量词与存在量词(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 学业标准 素养目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义． 2．理解存在量词、存在量词命题的定义． 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点) 1.通过全称量词与存在量词的学习，培养数学运算等核心素养． 2．借助全称量词命题与存在量词命题的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学 全称量词和存在量词 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是什么？ [提示]　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词． 如何判定一个全称量词命题的真假？ [提示]　要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． 如何判定一个存在量词命题的真假？ [提示]　要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． ◎结论形成 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题叫做全称量词命题 含有存在量词的命题叫做存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　) (3)全称量词命题一定含有全称量词．(　　) (4)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．命题“∃x∈R，x2>3”不可以表述为(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 解析　本题主要考查存在量词命题．“∃”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C. 答案　C 3．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析　①②③是全称量词命题，④是存在量词命题． 答案　①②③　④ 4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题． 答案　存在量词命题　假 (1)下列语句不是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 (2)(多选)给出下列几个选项中，是全称量词命题的为(　　) A．至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立 B．对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立 C．对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立 D．存在x，使x2＋2x＋1＝0成立 [解析]　(1)因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． (2)因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以A、D为存在量词命题，B、C为全称量词命题． [答案]　(1)C　(2)BC 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 　 [触类旁通] 1．下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题． 答案　C 判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，使得x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，有x2>0. [解析]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假．　 [触类旁通] 2．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 解析　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在a＝－5，b＝－3，a<b， 但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，由此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题． 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.若命题p：∀x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围． [解析]　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅， 所以解得2≤m≤3， 即m的取值范围为{m|2≤m≤3}． [母题变式] (变条件)若将本题改为：命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解析　q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅， 所以m≥2. 所以或2m－1≥－2，解得2≤m≤4， 即m的取值范围为{m|2≤m≤4}． 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax)．　 [触类旁通] 3．(1)命题p：“∀2＜x＜3,3x2－a＞0”，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．a＞27　　　　　　　 B．a≤12 C．a＜12 D．a≥27 (2)若∃x∈R，使得x2－3≤a，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤－3 B．a≥－3 C．a≤0 D．a≥0 解析　(1)命题p为真命题，即不等式a＜3x2在2＜x＜3时恒成立，因为12＜3x2＜27， 所以a≤12.故选B. (2)因为∃x∈R，使得x2－3≤a，又y＝x2－3的最小值为－3，所以a≥－3.故选B. 答案　(1)B　(2)B 知识落实 技法强化 1.全称量词命题、存在量词命题的概念． 2．含量词的命题的真假判断． 3．依据含量词的命题的真假求参数的取值范围. 1.注意有些命题省略了量词． 2．全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”. 学科网（北京）股份有限公司 $$